Integration Full Chapter Explained - https://you.tube/Integration-Class-12

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  1. Chapter 7 Class 12 Integrals
  2. Serial order wise

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Misc 20 Integrate the function √((1 βˆ’ √π‘₯)/(1 + √π‘₯)) ∫1β–’γ€–βˆš((1 βˆ’ √π‘₯)/(1 + √π‘₯)) 𝑑π‘₯γ€— Let x = 〖𝒄𝒐𝒔〗^𝟐 𝟐𝜽 dx = βˆ’4 cos 2πœƒ sin 2πœƒ dπœƒ Substituting, = ∫1β–’βˆš((1 βˆ’ √((γ€–π‘π‘œπ‘ γ€—^2 2πœƒ) ))/(1 + √((γ€–π‘π‘œπ‘ γ€—^2 2πœƒ) )))Γ—βˆ’4 cos⁑2ΞΈ sin⁑2ΞΈ π‘‘πœƒ = ∫1β–’βˆš((1 βˆ’ cos⁑2πœƒ)/(1 + π‘π‘œπ‘  2πœƒ))Γ—(βˆ’4) cos⁑2ΞΈ sin⁑2ΞΈ π‘‘πœƒ = βˆ’4∫1β–’βˆš((1 βˆ’ (1 βˆ’ 2〖𝑠𝑖𝑛〗^(2 ) πœƒ))/(1 + (2γ€–π‘π‘œπ‘ γ€—^(2 ) πœƒ βˆ’ 1) )) cos⁑2ΞΈ (2 sin⁑θ cosβ‘γ€–πœƒ)γ€— π‘‘πœƒ = βˆ’8∫1β–’βˆš((2〖𝑠𝑖𝑛〗^(2 ) πœƒ)/(2γ€–π‘π‘œπ‘ γ€—^(2 ) πœƒ)) cos⁑2ΞΈ cosβ‘πœƒ sinβ‘πœƒ π‘‘πœƒ = βˆ’8∫1β–’sinβ‘πœƒ/cos⁑θ cos⁑2ΞΈ cosβ‘πœƒ sinβ‘πœƒ π‘‘πœƒ = βˆ’8∫1▒〖〖𝑠𝑖𝑛〗^2 πœƒγ€— cos⁑2ΞΈ π‘‘πœƒ Using cos⁑2π‘₯=1βˆ’2〖𝑠𝑖𝑛〗^2 π‘₯=2γ€–π‘π‘œπ‘ γ€—^2 π‘₯βˆ’1 sin 2π‘₯=2 sin⁑〖π‘₯ cos⁑π‘₯ γ€— = βˆ’8∫1β–’((1 βˆ’ cos⁑2ΞΈ)/2) cos⁑2ΞΈ π‘‘πœƒ = –4 ∫1β–’(π‘π‘œπ‘  2ΞΈβˆ’cos^2⁑2ΞΈ ) π‘‘πœƒ = 4 ∫1β–’(γ€–π‘π‘œπ‘ γ€—^2 2ΞΈβˆ’cos⁑2ΞΈ ) π‘‘πœƒ = 4 ∫1β–’γ€–γ€–π‘π‘œπ‘ γ€—^2 2ΞΈγ€— π‘‘πœƒβˆ’4∫1β–’cos⁑2ΞΈ π‘‘πœƒ = 4 ∫1β–’(cos⁑4πœƒ + 1)/2 π‘‘πœƒ βˆ’ 4∫1β–’γ€–π‘π‘œπ‘  2πœƒγ€— π‘‘πœƒ = 2 ∫1β–’γ€–(cos⁑4πœƒ + 1)γ€— π‘‘πœƒ βˆ’ 4∫1β–’γ€–π‘π‘œπ‘  2πœƒγ€— π‘‘πœƒ = 2 [(sin⁑4 πœƒ)/4+πœƒ] βˆ’4 [(sin⁑2 πœƒ)/2]+C Using cos 2x = 1 βˆ’ 2 sin^2 x 〖𝑠𝑖𝑛〗^2 π‘₯=(1 βˆ’ cos⁑2π‘₯)/2 = sin⁑4πœƒ/2+2πœƒ βˆ’2 𝑠𝑖𝑛 2πœƒ+ C Now x = γ€–π‘π‘œπ‘ γ€—^2 2πœƒ √π‘₯ " = " cos⁑2πœƒ γ€–π‘π‘œπ‘ γ€—^(βˆ’1) √π‘₯=2πœƒ 1/2 γ€–π‘π‘œπ‘ γ€—^(βˆ’1) √π‘₯=πœƒ And, sin 4πœƒ = 2 sin 2πœƒ cos 2πœƒ 1 βˆ’ π‘₯=1βˆ’γ€–π‘π‘œπ‘ γ€—^2 2πœƒ 1 βˆ’ π‘₯=〖𝑠𝑖𝑛〗^2 2πœƒ sin 2πœƒ = √(1βˆ’π‘₯) = 2√(1βˆ’π‘₯)Γ—βˆšπ‘₯ = 2 √π‘₯ √(1βˆ’π‘₯) Putting the values. = sin⁑4πœƒ/2+2ΞΈβˆ’2 sin⁑2ΞΈ+ C = (2√π‘₯ √(1 βˆ’ π‘₯))/2+2 (γ€–π‘π‘œπ‘ γ€—^(βˆ’1) √π‘₯)/2βˆ’2√(1βˆ’π‘₯)+C = √π‘₯ √(1βˆ’π‘₯)+γ€–π‘π‘œπ‘ γ€—^(βˆ’1) √π‘₯βˆ’2√(1βˆ’π‘₯)+ C = √(π‘₯βˆ’π‘₯^2 )+γ€–π‘π‘œπ‘ γ€—^(βˆ’1) √π‘₯βˆ’2√(1βˆ’π‘₯)+C = –2√(πŸβˆ’π’™)+〖𝒄𝒐𝒔〗^(βˆ’πŸ) βˆšπ’™+√(π’™βˆ’π’™^𝟐 )+𝐂

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Davneet Singh's photo - Teacher, Computer Engineer, Marketer
Davneet Singh
Davneet Singh is a graduate from Indian Institute of Technology, Kanpur. He has been teaching from the past 9 years. He provides courses for Maths and Science at Teachoo.