Miscellaneous

Chapter 7 Class 12 Integrals
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Get live Maths 1-on-1 Classs - Class 6 to 12

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Misc 19 Integrate the function (sin^(โ1)โกโ๐ฅ โ cos^(โ1)โกโ๐ฅ)/(sin^(โ1)โกโ๐ฅ + cos^(โ1)โกโ๐ฅ ) , ๐ฅโ[0, 1] Let ๐ผ = โซ1โ(sin^(โ1)โกโ๐ฅ โ cos^(โ1)โกโ๐ฅ)/(sin^(โ1)โกโ๐ฅ + cos^(โ1)โกโ๐ฅ ) ๐๐ฅ We can write as (sin^(โ1)โกโ๐ฅ โ cos^(โ1)โกโ๐ฅ)/(sin^(โ1)โกโ๐ฅ + cos^(โ1)โกโ๐ฅ ) = (sin^(โ1)โกโ๐ฅ โ (๐/2 " โ" ใ ๐ ๐๐ใ^(โ1)โกโ๐ฅ ))/(๐/2) We know that ใ๐ ๐๐ใ^(โ1)โก๐ฅ+ใ๐๐๐ ใ^(โ1)โก๐ฅ=๐/2 or ใ๐๐๐ ใ^(โ1)โก๐ฅ=๐/2 โใ ๐ ๐๐ใ^(โ1)โก๐ฅ = (2/๐)(sin^(โ1)โกโ๐ฅ โ๐/2 " +" ใ ๐ ๐๐ใ^(โ1)โกโ๐ฅ ) = 2/๐ (2 sin^(โ1)โกโ๐ฅ โ๐/2) = 2/๐ ร2 sin^(โ1)โกโ๐ฅโ 2/๐ร๐/2 = 4/๐ sin^(โ1)โกโ๐ฅโ1 Integrating ๐ค.๐.๐ก.๐ฅ โซ1โ(sin^(โ1)โกโ๐ฅ โ cos^(โ1)โกโ๐ฅ)/(sin^(โ1)โกโ๐ฅ + cos^(โ1)โกโ๐ฅ ) ๐๐ฅ=โซ1โ(4/๐ sin^(โ1)โกโ๐ฅโ1) ๐๐ฅ = โซ1โใ4/๐ sin^(โ1)โกโ๐ฅ ใ ๐๐ฅโโซ1โ๐๐ฅ = 4/๐ โซ1โsin^(โ1)โกโ๐ฅ ๐๐ฅโ๐ฅ+๐ถ1 Let ๐ผ1=โซ1โsin^(โ1)โกโ๐ฅ ๐๐ฅ Hence, I = 4/๐ ๐ผ1โ๐ฅ+๐ถ1 Solving ๐_๐ ๐ผ1 = โซ1โsin^(โ1)โกโ๐ฅ ๐๐ฅ Put โ๐ฅ=๐ก ๐ฅ=๐ก^2 Differentiating ๐ค.๐.๐ก.๐ฅ ๐๐ฅ/๐๐ฅ = (๐๐ก^2)/๐๐ฅ 1 = 2๐ก ๐๐ก/๐๐ฅ ๐๐ฅ = 2๐ก ๐๐ก Therefore โซ1โsin^(โ1)โกโ๐ฅ ๐๐ฅ=โซ1โsin^(โ1)โก๐ก .2๐ก ๐๐ก =2โซ1โsin^(โ1)โก๐ก .๐ก ๐๐ก =2โซ1โใ๐ก sin^(โ1)โกใ๐ก ใ ใ ๐๐ก =2[sin^(โ1)โกใ๐ก ใ โซ1โ๐ก ๐๐กโโซ1โ((๐/๐๐ก sin^(โ1)โก๐ก ) โซ1โใ๐ก ๐๐กใ) ๐๐ก Now we know that โซ1โใ๐(๐ฅ) ๐โก(๐ฅ) ใ ๐๐ฅ=๐(๐ฅ) โซ1โ๐(๐ฅ) ๐๐ฅโโซ1โ(๐^โฒ (๐ฅ) โซ1โ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ) ๐๐ฅ Putting f(x) = t and g(x) = sinโ1 t =2[sin^(โ1)โกใ๐ก ใ ๐ก^2/2 โโซ1โ1/โ(1 โใ ๐กใ^2 ) ร๐ก^2/2 ๐๐ก+๐ถ] =2ร๐ก^2/2 ใ sin^(โ1)ใโก๐กโ2รโซ1โใ1/2 ร๐ก^2/โ(1 โใ ๐กใ^2 )ใ ๐๐ก+๐ถ = ๐ก^2 sin^(โ1)โก๐กโโซ1โ๐ก^2/โ(1 โใ ๐กใ^2 ) ๐๐ก+๐ถ = ๐ก^2 sin^(โ1)โก๐ก+โซ1โ(โ๐ก^2)/โ(1 โใ ๐กใ^2 ) ๐๐ก+๐ถ Solving โซ1โใโ ๐ใ^๐/โ(๐ โใ ๐ใ^๐ ) ๐๐ We can write (โ ๐ก^2)/โ(1 โใ ๐กใ^2 ) =(ใโ ๐กใ^2 + 1 โ 1)/โ(1 โใ ๐กใ^2 ) =(ใ1 โ ๐กใ^2 โ 1)/โ(1 โใ ๐กใ^2 ) =ใ1 โ ๐กใ^2/โ(1 โใ ๐กใ^2 ) โ" " 1/โ(1 โใ ๐กใ^2 ) =โ(1 โใ ๐กใ^2 ) โ" " 1/โ(1 โใ ๐กใ^2 ) Integrating ๐ค.๐.๐ก.๐ฅ โซ1โ(โ ๐ก^2)/(1 โใ ๐กใ^2 ) dt = โซ1โใ(โ(1 โใ ๐กใ^2 ) โ" " 1/โ(1 โใ ๐กใ^2 )) ใ ๐๐ก = โซ1โโ(1^2 โใ ๐กใ^2 ) ๐๐กโโซ1โ1/โ(1^2 โใ ๐กใ^2 ) ๐๐ก = ๐ก/2 โ(1^2 โใ ๐กใ^2 )+1^2/2 sin^(โ1)โกใ๐ก/1ใโsin^(โ1)โกใ๐ก/1ใ We know that โซ1โโ(๐^2โ๐ฅ^2 )=๐ฅ/2 โ(๐^2โ๐ฅ^2 )+๐^2/2 sin^(โ1)โกใ๐ฅ/๐ใ+๐ถ โซ1โ1/โ(๐^2 โ ๐ฅ^2 )=sin^(โ1)โกใ๐ฅ/๐ใ+๐ถ = ๐ก/2 โ(1 โใ ๐กใ^2 )+1/2 sin^(โ1)โก๐กโsin^(โ1)โก๐ก = ๐ก/2 โ(1 โใ ๐กใ^2 ) โ 1/2 sin^(โ1)โก๐ก Hence we can write ๐ผ1 = ๐ก^2 sin^(โ1)โก๐ก+โซ1โ(โ ๐ก^2)/โ(1 โใ ๐กใ^2 ) ๐๐ก ๐ผ1 = ๐ก^2 sinโก๐ก+๐ก/2 โ(1 โใ ๐กใ^2 )โ1/2 sin^(โ1)โก๐ก Putting ๐ก = โ๐ฅ ๐ผ1 = (โ๐ฅ)^2 sinโกโ๐ฅ+โ๐ฅ/2 โ(1 โใ (โ๐ฅ)ใ^2 )โ1/2 sin^(โ1)โกโ๐ฅ ๐ผ1 = ๐ฅ sinโกโ๐ฅ+โ๐ฅ/2 โ(1โ๐ฅ)โ1/2 sin^(โ1)โกโ๐ฅ Hence ๐ผ = 4/๐ ใ ๐ผใ_(1 )โ๐ฅ+C_1 ๐ผ = 4/๐ (๐ฅ ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) โ๐ฅ+โ๐ฅ/2 โ(1โ๐ฅ)โ1/2 ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) โ๐ฅ)โ๐ฅ+C_1 ๐ผ = 4/๐ (๐ฅ ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) โ๐ฅ+โ(๐ฅ โ ๐ฅ^2 )/2 โ1/2 ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) โ๐ฅ)โ๐ฅ+C_1 ๐ผ = 4/๐ ๐ฅ ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) โ๐ฅ+2/๐ โ(๐ฅ โ ๐ฅ^2 )โ2/๐ ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) โ๐ฅโ๐ฅ+C_1 ๐ผ = 4/๐ ๐ฅ ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) โ๐ฅโ2/๐ ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) โ๐ฅ+2/๐ โ(๐ฅ โ ๐ฅ^2 )โ๐ฅ+C_1 ๐ผ = ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) โ๐ฅ [4๐ฅ/๐โ2/๐]+(2 โ(๐ฅ โ ๐ฅ^2 ))/๐โ๐ฅ+ C_1 ๐ผ = ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) โ๐ฅ [(4๐ฅ โ 2)/๐]+(2 โ(๐ฅ โ ๐ฅ^2 ))/๐โ๐ฅ+ C_1 ๐ฐ = ใ๐๐๐ใ^(โ๐) โ๐ [(๐(๐๐ โ๐))/๐]+(๐ โ(๐ โ ๐^๐ ))/๐โ๐+ ๐ช_๐