Misc 11 - Integrate 1 / cos (x + a) cos (x + b) - Class 12 - Integration using trigo identities - a-b formulae

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  1. Chapter 7 Class 12 Integrals
  2. Serial order wise

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Misc 11 Integrate the function 1/(cos⁑(π‘₯ + π‘Ž) cos⁑(π‘₯ + 𝑏) ) ∫1▒𝑑π‘₯/cos⁑〖(π‘₯ + π‘Ž) cos⁑〖(π‘₯ + 𝑏)γ€— γ€— Divide & Multiplying by 𝐬𝐒𝐧⁑(π’‚βˆ’π’ƒ) =∫1β–’γ€–sin⁑(π‘Ž βˆ’ 𝑏)/sin⁑(π‘Ž βˆ’ 𝑏) Γ— 1/(cos⁑(π‘₯ + π‘Ž) cos⁑(π‘₯ + 𝑏) )γ€— 𝑑π‘₯ =1/sin⁑(π‘Ž βˆ’ 𝑏) ∫1β–’sin⁑(π‘Ž βˆ’ 𝑏)/(cos⁑(π‘₯ + π‘Ž) cos⁑(π‘₯ + 𝑏) ) 𝑑π‘₯ =1/sin⁑(π‘Ž βˆ’ 𝑏) ∫1β–’sin⁑(π‘Ž βˆ’ 𝑏 + π‘₯ βˆ’ π‘₯)/(cos⁑(π‘₯ + π‘Ž) cos⁑(π‘₯ + 𝑏) ) 𝑑π‘₯ =1/sin⁑(π‘Ž βˆ’ 𝑏) ∫1β–’(γ€–sin 〗⁑〖((π‘₯ + π‘Ž)γ€— βˆ’ (π‘₯ + 𝑏)) )/(cos⁑(π‘₯ + π‘Ž) cos⁑(π‘₯ + 𝑏) ) 𝑑π‘₯ We know that 𝑠𝑖𝑛⁑(π΄βˆ’π΅)=𝑠𝑖𝑛⁑𝐴 π‘π‘œπ‘ β‘π΅βˆ’π‘π‘œπ‘ β‘π΄ 𝑠𝑖𝑛⁑𝐡 Replace A by (π‘₯+π‘Ž) & B by (π‘₯+𝑏) 𝑠𝑖𝑛⁑((π‘₯+π‘Ž)βˆ’(π‘₯+𝑏))=𝑠𝑖𝑛⁑(π‘₯+π‘Ž) π‘π‘œπ‘ β‘(π‘₯+𝑏)βˆ’π‘π‘œπ‘ β‘(π‘₯+π‘Ž) 𝑠𝑖𝑛⁑(π‘₯+𝑏) =1/sin⁑(π‘Ž βˆ’ 𝑏) ∫1β–’(𝑠𝑖𝑛⁑(π‘₯ + π‘Ž) π‘π‘œπ‘ β‘(π‘₯ + 𝑏) βˆ’ π‘π‘œπ‘ β‘(π‘₯ + π‘Ž) 𝑠𝑖𝑛⁑(π‘₯ + 𝑏)" " )/(cos⁑(π‘₯ + π‘Ž) cos⁑(π‘₯ + 𝑏) ) 𝑑π‘₯ =1/sin⁑(π‘Ž βˆ’ 𝑏) ∫1β–’((𝑠𝑖𝑛⁑(π‘₯ + π‘Ž) π‘π‘œπ‘ β‘(π‘₯ + 𝑏))/(cos⁑(π‘₯ + π‘Ž) cos⁑(π‘₯ + 𝑏) ) βˆ’(cos⁑(π‘₯ + π‘Ž) sin⁑(π‘₯ + 𝑏))/(cos⁑(π‘₯ + π‘Ž) cos⁑(π‘₯ + 𝑏) )) 𝑑π‘₯ =1/sin⁑(π‘Ž βˆ’ 𝑏) ∫1β–’(𝑠𝑖𝑛⁑(π‘₯ + π‘Ž)/cos⁑(π‘₯ + π‘Ž) βˆ’π‘ π‘–π‘›β‘(π‘₯ + 𝑏)/cos⁑(π‘₯ + 𝑏) ) 𝑑π‘₯ =1/sin⁑(π‘Ž βˆ’ 𝑏) ∫1β–’(tan⁑(π‘₯+π‘Ž) βˆ’tan⁑(π‘₯+𝑏) ) 𝑑π‘₯ ∫1▒𝒕𝒂𝒏⁑(𝒙+𝒂) 𝒅𝒙 Let (π‘₯+π‘Ž)=𝑑 Diff w.r.t. x 1+0=𝑑𝑑/𝑑π‘₯ 𝑑π‘₯=𝑑𝑑 ∫1β–’tan⁑(π‘₯+π‘Ž) 𝑑π‘₯ =∫1β–’tan⁑𝑑 . 𝑑𝑑 =βˆ’log⁑|cos⁑𝑑 |+𝐢1 Putting value of 𝑑=π‘₯+π‘Ž =βˆ’log⁑|cos⁑〖(π‘₯+π‘Ž)γ€— |+𝐢1 ∫1▒𝒕𝒂𝒏⁑(𝒙+𝒃) 𝒅𝒙 Let (π‘₯+𝑏)=𝑑 Diff w.r.t.x 1+0=𝑑𝑑/𝑑π‘₯ 𝑑π‘₯=𝑑𝑑 ∫1β–’tan⁑(π‘₯+𝑏) 𝑑π‘₯ =∫1β–’tan⁑𝑑 . 𝑑𝑑 =βˆ’log⁑|cos⁑𝑑 |+𝐢2 Putting value of 𝑑=π‘₯+𝑏 =βˆ’log⁑|cos⁑〖(π‘₯+𝑏)γ€— |+𝐢2 Thus, our equation becomes ∫1β–’1/(cos⁑(π‘₯ + π‘Ž) cos⁑(π‘₯ + 𝑏) ) 𝑑π‘₯ =1/sin⁑(π‘Ž βˆ’ 𝑏) ∫1β–’γ€–tan⁑(π‘₯+π‘Ž)βˆ’tan⁑(π‘₯+π‘Ž) γ€— 𝑑π‘₯ =1/sin⁑(π‘Ž βˆ’ 𝑏) [βˆ’log⁑|cos⁑(π‘₯+π‘Ž) |+𝐢1βˆ’(βˆ’log⁑|cos⁑(π‘₯+𝑏) |+𝐢2) =1/sin⁑(π‘Ž βˆ’ 𝑏) [βˆ’log⁑|cos⁑(π‘₯+π‘Ž) |+log⁑|cos⁑(π‘₯+𝑏) |+𝐢1+𝐢2] =1/sin⁑(π‘Ž βˆ’ 𝑏) [βˆ’log⁑|cos⁑(π‘₯+π‘Ž) |+log⁑|cos⁑(π‘₯+𝑏) | ]+𝟏/π’”π’Šπ’β‘(𝒂 + 𝒃) (π‘ͺ𝟏+π‘ͺ𝟐) =1/sin⁑(π‘Ž βˆ’ 𝑏) [βˆ’log⁑|cos⁑(π‘₯+π‘Ž) |+log⁑|cos⁑(π‘₯+𝑏) | ]+π‘ͺ = 𝟏/π’”π’Šπ’β‘(𝒂 βˆ’ 𝒃) π₯𝐨𝐠|𝒄𝒐𝒔⁑(𝒙 + 𝒃)/𝒄𝒐𝒔⁑(𝒙 + 𝒂) |+π‘ͺ ("log a βˆ’ log b = log " π‘Ž/𝑏 " " )

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Davneet Singh's photo - Teacher, Computer Engineer, Marketer
Davneet Singh
Davneet Singh is a graduate from Indian Institute of Technology, Kanpur. He has been teaching from the past 9 years. He provides courses for Maths and Science at Teachoo.