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  1. Chapter 7 Class 12 Integrals
  2. Serial order wise

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Ex 7.3, 6 𝑠𝑖𝑛 π‘₯ sin⁑2π‘₯ sin⁑3π‘₯ ∫1β–’sin⁑〖π‘₯ sin⁑〖2π‘₯ sin⁑3π‘₯ γ€— γ€— 𝑑π‘₯ =∫1β–’γ€–(sin⁑π‘₯ sin⁑2π‘₯ ) sin⁑3π‘₯ γ€— 𝑑π‘₯ We know that 2 sin⁑𝐴 sin⁑𝐡=βˆ’cos⁑(𝐴+𝐡)+cos⁑(π΄βˆ’π΅) sin⁑𝐴 sin⁑𝐡=1/2 [βˆ’cos⁑(𝐴+𝐡)+cos⁑(π΄βˆ’π΅) ] sin⁑𝐴 sin⁑𝐡=1/2 [cos⁑(π΄βˆ’π΅)βˆ’cos⁑(𝐴+𝐡) ] Replace A by π‘₯ & B by 2π‘₯ sin⁑π‘₯ sin⁑2π‘₯=1/2 [cos⁑(π‘₯βˆ’2π‘₯)βˆ’cos⁑(π‘₯+2π‘₯) ] sin⁑π‘₯ sin⁑2π‘₯ =1/2 [cos⁑(βˆ’π‘₯)βˆ’cos⁑(3π‘₯) ] sin⁑π‘₯ sin⁑2π‘₯ =1/2 [cos⁑〖 π‘₯γ€—βˆ’cos⁑3π‘₯ ] Thus, our equation becomes ∫1▒𝐬𝐒𝐧⁑〖𝒙 π¬π’π§β‘πŸπ’™ sin⁑3π‘₯ γ€— 𝑑π‘₯ =∫1β–’γ€–πŸ/𝟐 (π’„π’π’”β‘π’™βˆ’π’„π’π’”β‘πŸ‘π’™ ) γ€— . sin⁑3π‘₯.𝑑π‘₯ =1/2 ∫1β–’(cos⁑π‘₯βˆ’cos⁑3π‘₯ ) sin⁑3π‘₯ 𝑑π‘₯ =1/2 [∫1β–’(cos⁑π‘₯. sin⁑3π‘₯βˆ’cos⁑3π‘₯. sin⁑3π‘₯ ) ]𝑑π‘₯ =1/2 [∫1β–’γ€–cos⁑π‘₯. sin⁑3π‘₯ γ€— 𝑑π‘₯βˆ’βˆ«1β–’γ€–cos⁑3π‘₯. sin⁑3π‘₯ γ€— 𝑑π‘₯] (βˆ΅π‘π‘œπ‘ β‘(βˆ’π‘₯)=π‘π‘œπ‘ β‘π‘₯) ∫1▒〖𝒄𝒐𝒔⁑𝒙. π’”π’Šπ’β‘πŸ‘π’™ γ€— 𝒅𝒙 We know that 2 𝑠𝑖𝑛⁑𝐴 π‘π‘œπ‘ β‘π΅ =𝑠𝑖𝑛⁑(𝐴+𝐡)+𝑠𝑖𝑛⁑(π΄βˆ’π΅) 𝑠𝑖𝑛⁑𝐴 π‘π‘œπ‘ β‘π΅=1/2 [𝑠𝑖𝑛⁑(𝐴+𝐡)+𝑠𝑖𝑛⁑(π΄βˆ’π΅) ] Replace A by 3π‘₯ & B by π‘₯ sin⁑3π‘₯ cos⁑π‘₯ = 1/2 [𝑠𝑖𝑛⁑(π‘₯+3π‘₯)+sin⁑(3π‘₯βˆ’π‘₯) ] = 1/2 [𝑠𝑖𝑛⁑4π‘₯+sin⁑2π‘₯ ] ∫1β–’γ€–π’„π’π’”β‘πŸ‘π’™. π’”π’Šπ’β‘πŸ‘π’™ γ€— 𝒅𝒙 We know that 2 𝑠𝑖𝑛⁑𝐴 π‘π‘œπ‘ β‘π΅ =𝑠𝑖𝑛⁑(𝐴+𝐡)+𝑠𝑖𝑛⁑(π΄βˆ’π΅) 𝑠𝑖𝑛⁑𝐴 π‘π‘œπ‘ β‘π΅ =1/2 [𝑠𝑖𝑛⁑(𝐴+𝐡)+𝑠𝑖𝑛⁑(π΄βˆ’π΅) ] Replace A by 3π‘₯ & B by 3π‘₯ sin⁑3π‘₯ cos⁑3π‘₯ = 1/2 [𝑠𝑖𝑛⁑(3π‘₯+3π‘₯)+sin⁑(3π‘₯βˆ’3π‘₯) ] = 1/2 [𝑠𝑖𝑛⁑6π‘₯+sin⁑0 ] =1/2 [𝑠𝑖𝑛⁑6π‘₯ ] Hence ∫1β–’γ€–sin⁑3π‘₯.cos⁑π‘₯ γ€— 𝑑π‘₯ =1/2 ∫1β–’[𝑠𝑖𝑛⁑4π‘₯+sin⁑2π‘₯ ] 𝑑π‘₯ Hence ∫1β–’γ€–cos⁑3π‘₯.sin⁑3π‘₯ γ€— 𝑑π‘₯ =1/2 ∫1β–’sin⁑6π‘₯ 𝑑π‘₯ Thus, our equation becomes ∫1β–’sin⁑〖π‘₯ sin⁑〖2π‘₯ sin⁑3π‘₯ γ€— γ€— 𝑑π‘₯ =1/2 [∫1β–’γ€–sin⁑3π‘₯ cos⁑3π‘₯ γ€— 𝑑π‘₯βˆ’βˆ«1β–’γ€–sin⁑3π‘₯ cos⁑3π‘₯ γ€— 𝑑π‘₯] =1/2 [1/2 ∫1β–’(sin⁑4π‘₯+sin⁑2π‘₯ ) 𝑑π‘₯βˆ’1/2 ∫1β–’(sin⁑6π‘₯ ) 𝑑π‘₯] =1/4 [∫1β–’(sin⁑4π‘₯+sin⁑2π‘₯ ) 𝑑π‘₯βˆ’βˆ«1β–’(sin⁑6π‘₯ ) 𝑑π‘₯] =1/4 [∫1β–’sin⁑4π‘₯ 𝑑π‘₯+∫1β–’sin⁑2π‘₯ 𝑑π‘₯βˆ’βˆ«1β–’sin⁑6π‘₯ 𝑑π‘₯] ∫1β–’sin⁑(π‘Žπ‘₯+𝑏) 𝑑π‘₯=βˆ’π‘π‘œπ‘ β‘(π‘Žπ‘₯ + 𝑏)/π‘Ž +𝐢 =1/4 [(βˆ’cos⁑4π‘₯)/4 +(γ€–βˆ’cos〗⁑2π‘₯/2) βˆ’((βˆ’cos⁑6π‘₯)/6)]+𝐢 =1/4 [(βˆ’cos⁑4π‘₯)/4 βˆ’cos⁑2π‘₯/2+cos⁑6π‘₯/6]+𝐢 =𝟏/πŸ’ [π’„π’π’”β‘πŸ”π’™/πŸ” βˆ’π’„π’π’”β‘πŸ’π’™/πŸ’ βˆ’ π’„π’π’”β‘πŸπ’™/𝟐 ]+π‘ͺ

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Davneet Singh's photo - Teacher, Computer Engineer, Marketer
Davneet Singh
Davneet Singh is a graduate from Indian Institute of Technology, Kanpur. He has been teaching from the past 9 years. He provides courses for Maths and Science at Teachoo.