Ex 7.10, 2 - Chapter 7 Class 12 Integrals

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Ex 7.10, 2 By using the properties of definite integrals, evaluate the integrals : ∫_0^(𝜋/2)▒〖√(sin⁡𝑥 )/(√(sin⁡𝑥 ) + √(cos⁡𝑥 ) ) 𝑑𝑥〗 Let I=∫_0^(𝜋/2)▒〖√(sin⁡𝑥 )/(√(sin⁡𝑥 ) + √(cos⁡𝑥 ) ) 𝑑𝑥〗 I= ∫_0^(𝜋/2)▒〖√(〖sin 〗⁡(𝜋/2 − 𝑥) )/(√(〖sin 〗⁡(𝜋/2 − 𝑥) ) + √(〖cos 〗⁡(𝜋/2 − 𝑥) ) ) 𝑑𝑥〗 ∴ I= ∫_0^(𝜋/2)▒〖√(〖𝑐𝑜𝑠 〗⁡𝑥 )/(√(〖𝑐𝑜𝑠 〗⁡𝑥 ) + √(𝑠𝑖𝑛⁡𝑥 ) ) 𝑑𝑥〗 Adding (1) and (2) i.e. (1) + (2) I+I= ∫_0^(𝜋/2)▒〖√(〖sin 〗⁡𝑥 )/(√(〖sin 〗⁡𝑥 ) + √(〖cos 〗⁡𝑥 ) ) 𝑑𝑥〗+∫_0^(𝜋/2)▒〖√(𝑐𝑜𝑠⁡𝑥 )/(√(𝑐𝑜𝑠⁡𝑥 ) + √(𝑠𝑖𝑛⁡𝑥 ) ) 𝑑𝑥〗 2I=∫_0^(𝜋/2)▒〖[(√(〖sin 〗⁡𝑥 ) + √(𝑐𝑜𝑠⁡𝑥 ))/(√(〖sin 〗⁡𝑥 ) + √(𝑐𝑜𝑠⁡𝑥 )) ] 𝑑𝑥〗 2I= ∫_0^(𝜋/2)▒〖 𝑑𝑥〗 I=1/2 ∫_0^(𝜋/2)▒〖 𝑑𝑥〗 I= 1/2 [𝑥]_0^(𝜋/2) I=1/2 [𝜋/2−0] ∴ I= 𝜋/4