Integration Full Chapter Explained - Integration Class 12 - Everything you need






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Ex 7.4, 23 Integrate (5๐ฅ + 3)/โ(๐ฅ^2 + 4๐ฅ + 10) โซ1โ(5๐ฅ + 3)/โ(๐ฅ^2 + 4๐ฅ + 10) ๐๐ฅ =5โซ1โ(๐ฅ + 3/5)/โ(๐ฅ^2 + 4๐ฅ + 10) =5/2 โซ1โ(2๐ฅ + 6/5)/โ(๐ฅ^2 + 4๐ฅ + 10) =5/2 โซ1โ(2๐ฅ + 4 โ 4 + 6/5)/โ(๐ฅ^2 + 4๐ฅ + 10) =5/2 โซ1โ(2๐ฅ + 4 โ 14/5)/โ(๐ฅ^2 + 4๐ฅ + 10) Rough (๐ฅ^2+4๐ฅ+10)^โฒ=2๐ฅ+4 =5/2 โซ1โ(2๐ฅ + 4)/โ(๐ฅ^2 + 4๐ฅ + 10) ๐๐ฅ+5/2 โซ1โ(โ 14/5)/โ(๐ฅ^2 + 4๐ฅ + 10) ๐๐ฅ =5/2 โซ1โ(2๐ฅ + 4)/โ(๐ฅ^2 + 4๐ฅ + 10) ๐๐ฅโ7โซ1โ๐๐ฅ/โ(๐ฅ^2 + 4๐ฅ + 10) ๐๐ฅ Solving ๐ฐ๐ I1=5/2 โซ1โ( 2๐ฅ + 4)/โ(๐ฅ^2 + 4๐ฅ + 10) . ๐๐ฅ Let ๐ฅ^2 + 4๐ฅ + 10=๐ก Diff both sides w.r.t.x 2๐ฅ+4+0=๐๐ก/๐๐ฅ ๐๐ฅ=๐๐ก/(2๐ฅ + 4) Thus, our equation becomes I1=5/2 โซ1โ( 2๐ฅ + 4)/โ(๐ฅ^2 + 4๐ฅ + 10) . ๐๐ฅ Putting the value of (๐ฅ^2+4๐ฅ+10)=๐ก and ๐๐ฅ=๐๐ก/(2๐ฅ + 4) I1=5/2 โซ1โ(2๐ฅ + 4)/โ๐ก . ๐๐ฅ I1=5/2 โซ1โ(2๐ฅ + 4)/โ๐ก .๐๐ก/(2๐ฅ + 4) I1=5/2 โซ1โ1/โ๐ก . ๐๐ก I1=5/2 โซ1โ1/(๐ก)^(1/2) . ๐๐ก I1=5/2 โซ1โ(๐ก)^((โ 1)/2) . ๐๐ก I1=5/2 ใ๐ก ใ^((โ1)/2 + 1)/((โ1)/2 + 1) +๐ถ1 I1=5/2 (๐ก ^(1/2 ))/(1/2) +๐ถ1 I1=5 ๐ก ^(1/2 )+๐ถ1 I1=5 โ๐ก+๐ถ1 I1=5 โ(๐ฅ^2+4๐ฅ+10)+๐ถ1 (Using ๐ก=๐ฅ^2+4๐ฅ+1) Solving ๐ฐ๐ I2=โซ1โ( 7)/โ(๐ฅ^2 + 4๐ฅ + 10) . ๐๐ฅ I2=7โซ1โ1/โ(๐ฅ^2 + 2(2)(๐ฅ) + 10) . ๐๐ฅ I2=7โซ1โ1/โ(๐ฅ^2 + 2(2)(๐ฅ) + (2)^2 โ (2)^2 + 10) . ๐๐ฅ I2=7โซ1โ1/โ((๐ฅ + 2)^2 โ (2)^2 + 10) . ๐๐ฅ I2=7โซ1โ1/โ((๐ฅ + 2)^2 โ 4 + 10) . ๐๐ฅ I2=7โซ1โ1/โ((๐ฅ + 2)^2 + 6) . ๐๐ฅ I2=7โซ1โ1/โ((๐ฅ + 2)^2 + (โ6 )^2 ) . ๐๐ฅ I2=7[๐๐๐โก|๐ฅ+2+โ((๐ฅ+2)^2 + (โ6)^2 )| ]+๐ถ2 I2=7 ๐๐๐โก|๐ฅ+2+โ(๐ฅ^2+4๐ฅ+4+6)|+๐ถ2 I2=7 ๐๐๐โก|๐ฅ+2+โ(๐ฅ^2+4๐ฅ+10)|+๐ถ2 It is of form โซ1โ๐๐ฅ/โ(๐ฅ^2 + ๐^2 ) =๐๐๐โก|๐ฅ+โ(๐ฅ^2 + ๐^2 )|+๐ถ2 โด Replacing x by (๐ฅ+2) and a by โ6 , we get Putting the values of I1 and I2 in (1) โซ1โ(5๐ฅ + 3)/โ(๐ฅ^2 + 4๐ฅ + 10) . ๐๐ฅ = ๐ผ_1โ๐ผ_2 =5 โ(๐ฅ^2+4๐ฅ+10)+๐ถ1โ7 ๐๐๐โก|๐ฅ+2+โ(๐ฅ^2+4๐ฅ+10)|+๐ถ2 =๐ โ(๐^๐+๐๐+๐๐)โ๐ ๐๐๐โก|๐+๐+โ(๐^๐+๐๐+๐๐)|+๐ช
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