Ex 7.4, 20

Transcript

Ex 7.4, 20 (𝑥 + 2)/√(4𝑥 − 𝑥^2 ) ∫1▒(𝑥 + 2)/√(4𝑥 − 𝑥^2 )=− 1/2 ∫1▒(−2𝑥 − 4)/√(4𝑥 − 𝑥^2 ) =− 1/2 ∫1▒(−2𝑥 + 4 − 4 − 4)/√(4𝑥 − 𝑥^2 ) 𝑑𝑥 =− 1/2 ∫1▒(−2𝑥 + 4 − 8)/√(4𝑥 − 𝑥^2 ) 𝑑𝑥 =− 1/2 ∫1▒(−2𝑥 + 4)/√(4𝑥 − 𝑥^2 ) 𝑑𝑥+8/2 ∫1▒𝑑𝑥/√(4𝑥 − 𝑥^2 ) =− 1/2 ∫1▒(−2𝑥 + 4)/√(4𝑥 − 𝑥^2 ) 𝑑𝑥+4∫1▒𝑑𝑥/√(4𝑥 − 𝑥^2 ) Solving 𝑰𝟏 I1=− 1/2 ∫1▒(4 − 2𝑥)/√(4𝑥 − 𝑥^2 ) . 𝑑𝑥 Let 4𝑥 − 𝑥^2=𝑡 Diff both sides w.r.t. x 4−2𝑥=𝑑𝑡/𝑑𝑥 𝑑𝑥=𝑑𝑡/(4 − 2𝑥) Thus, our equation becomes I1=− 1/2 ∫1▒(4 − 2𝑥)/√(4𝑥 − 𝑥^2 ) . 𝑑𝑥 Putting the values of (4𝑥−𝑥^2 ) and 𝑑𝑥 ∴ I1=− 1/2 ∫1▒(4 − 2𝑥)/√𝑡 . 𝑑𝑥 I1=− 1/2 ∫1▒(4 − 2𝑥)/√𝑡 . 𝑑𝑡/(4 − 2𝑥) I1=− 1/2 ∫1▒1/√𝑡 𝑑𝑡 I1=− 1/2 ∫1▒1/(𝑡)^(1/2) 𝑑𝑡 I1=− 1/2 〖𝑡 〗^((−1)/2 + 1)/((−1)/2 + 1) +𝐶1 I1=− 1/2 (𝑡 ^(1/2 ))/(1/2) +𝐶1 I1=−〖𝑡 〗^(1/2 )+𝐶1 I1=−√𝑡+𝐶1 I1=−√(4𝑥−𝑥^2 )+𝐶1 Solving 𝑰𝟐 I2=4∫1▒1/√(4𝑥 − 𝑥^2 ) . 𝑑𝑥 I2=4∫1▒1/√(−(𝑥^2 − 4𝑥) ) . 𝑑𝑥 I2=4∫1▒1/√(−(𝑥^2 − 2(2)(𝑥)) ) . 𝑑𝑥 I2=4∫1▒1/√(−(𝑥^2 − 2(2)(𝑥) + (2)^2 − (2)^2 ) ) . 𝑑𝑥 I2=4∫1▒1/√(−[(𝑥 − 2)^2 − (2)^2 ] ) . 𝑑𝑥 I2=4∫1▒1/√(−[(𝑥 − 2)^2 − 4] ) . 𝑑𝑥 I2=4∫1▒1/√(4 − (𝑥 − 2)^2 ) . 𝑑𝑥 I2=4∫1▒1/√((2)^2 − (𝑥 − 2)^2 ) . 𝑑𝑥 I2=4∫1▒1/√((2)^2 − (𝑥 − 2)^2 ) . 𝑑𝑥 I2=4[〖sin^(−1) 〗⁡((𝑥 − 2)/2) ]+𝐶2 Putting values of I1 and I2 in eq. (1) ∫1▒(𝑥 + 2)/√(4𝑥 − 𝑥^2 ) . 𝑑𝑥 =− 1/2 ∫1▒(4 − 2𝑥)/√(4𝑥 − 𝑥^2 ) . 𝑑𝑥+4∫1▒1" " /√(4𝑥 − 𝑥^2 ) . 𝑑𝑥 =−√(4𝑥−𝑥^2 )+𝐶1+4 〖sin^(−1) 〗⁡((𝑥 − 2)/2) +𝐶2 =−√(𝟒𝒙−𝒙^𝟐 )+𝟒 〖〖𝒔𝒊𝒏〗^(−𝟏) 〗⁡((𝒙 − 𝟐)/𝟐) +𝑪