Slide13.JPG

Slide14.JPG
Slide15.JPG Slide16.JPG Slide17.JPG

  1. Chapter 7 Class 12 Integrals
  2. Serial order wise

Transcript

Ex 7.4, 22 Integrate the function (๐‘ฅ + 3)/(๐‘ฅ^2 โˆ’ 2๐‘ฅ โˆ’ 5) โˆซ1โ–’(๐‘ฅ + 3)/(๐‘ฅ^2 โˆ’ 2๐‘ฅ โˆ’ 5) ๐‘‘๐‘ฅ =1/2 โˆซ1โ–’(2๐‘ฅ + 6)/(๐‘ฅ^2 โˆ’ 2๐‘ฅ โˆ’ 5) ๐‘‘๐‘ฅ =1/2 โˆซ1โ–’(2๐‘ฅ โˆ’ 2 + 2 + 6 )/(๐‘ฅ^2 โˆ’ 2๐‘ฅ โˆ’ 5) ๐‘‘๐‘ฅ =1/2 โˆซ1โ–’(2๐‘ฅ โˆ’ 2)/(๐‘ฅ^2 โˆ’ 2๐‘ฅ โˆ’ 5) ๐‘‘๐‘ฅ+8/2 โˆซ1โ–’๐‘‘๐‘ฅ/(๐‘ฅ^2 โˆ’ 2๐‘ฅ โˆ’ 5) =1/2 โˆซ1โ–’(2๐‘ฅ โˆ’ 2)/(๐‘ฅ^2 โˆ’ 2๐‘ฅ โˆ’ 5) ๐‘‘๐‘ฅ+4โˆซ1โ–’๐‘‘๐‘ฅ/(๐‘ฅ^2 โˆ’ 2๐‘ฅ โˆ’ 5) Rough (๐‘ฅ^2โˆ’2๐‘ฅโˆ’5)^โ€ฒ=2๐‘ฅโˆ’2 Solving ๐‘ฐ๐Ÿ I1=1/2 โˆซ1โ–’(2๐‘ฅ โˆ’ 2)/(๐‘ฅ^2 โˆ’ 2๐‘ฅ โˆ’ 5) . ๐‘‘๐‘ฅ Let ๐‘ฅ^2 โˆ’ 2๐‘ฅ โˆ’ 5=๐‘ก Diff both sides w.r.t.x 2๐‘ฅโˆ’2โˆ’0=๐‘‘๐‘ก/๐‘‘๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ=๐‘‘๐‘ก/(2๐‘ฅ โˆ’ 2) Thus, our equation becomes โˆด I1=1/2 โˆซ1โ–’(2๐‘ฅ โˆ’ 2)/(๐‘ฅ^2 โˆ’ 2๐‘ฅ โˆ’ 5) . ๐‘‘๐‘ฅ Putting value of (๐‘ฅ^2โˆ’2๐‘ฅโˆ’5)=๐‘ก and ๐‘‘๐‘ฅ=๐‘‘๐‘ก/(2๐‘ฅ โˆ’ 2) I1=1/2 โˆซ1โ–’(2๐‘ฅ โˆ’ 2)/๐‘ก . ๐‘‘๐‘ฅ I1=1/2 โˆซ1โ–’(2๐‘ฅ โˆ’ 2)/๐‘ก . ๐‘‘๐‘ก/(2๐‘ฅ โˆ’ 2) I1=1/2 โˆซ1โ–’1/๐‘ก . ๐‘‘๐‘ก I1=1/2 logโก|๐‘ก|+๐ถ1 I1=1/2 logโก|๐‘ฅ^2โˆ’2๐‘ฅโˆ’5|+๐ถ1 Solving ๐‘ฐ๐Ÿ I2=4โˆซ1โ–’1/(๐‘ฅ^2 โˆ’ 2๐‘ฅ โˆ’ 5) . ๐‘‘๐‘ฅ (Using ๐‘ก=๐‘ฅ^2โˆ’2๐‘ฅโˆ’5) I2=4โˆซ1โ–’1/(๐‘ฅ^2 โˆ’ 2(๐‘ฅ)(1) โˆ’ 5) . ๐‘‘๐‘ฅ I2=4โˆซ1โ–’1/(๐‘ฅ^2 โˆ’ 2(๐‘ฅ)(1) + (1)^2 โˆ’ (1)^2 โˆ’ 5) . ๐‘‘๐‘ฅ I2=4โˆซ1โ–’1/((๐‘ฅ โˆ’ 1)^2 โˆ’ (1)^2 โˆ’ 5) . I2=4โˆซ1โ–’1/((๐‘ฅ โˆ’ 1)^2 โˆ’ 1 โˆ’ 5) . ๐‘‘๐‘ฅ I2=4โˆซ1โ–’1/((๐‘ฅ โˆ’ 1)^2 โˆ’ 6) . ๐‘‘๐‘ฅ I2=4โˆซ1โ–’1/((๐‘ฅ โˆ’ 1)^2 โˆ’(โˆš6 )^2 ) . ๐‘‘๐‘ฅ It is of form โˆซ1โ–’๐‘‘๐‘ฅ/(๐‘ฅ^2 โˆ’ ๐‘Ž^2 ) =1/2๐‘Ž logโก|(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘Ž)/(๐‘ฅ + ๐‘Ž)|+๐ถ โˆด Replacing ๐‘ฅ by (๐‘ฅโˆ’1) and a by โˆš6 , we get I2=4/(2โˆš6) logโก|(๐‘ฅ โˆ’ 1 โˆ’ โˆš6)/(๐‘ฅ โˆ’ 1 + โˆš6)|+๐ถ2 I2=2/โˆš6 logโก|(๐‘ฅ โˆ’ 1 โˆ’ โˆš6)/(๐‘ฅ โˆ’ 1 + โˆš6)|+๐ถ2 Putting the values of I1 and I2 in (1) โˆซ1โ–’ใ€–(๐‘ฅ + 2)/โˆš(๐‘ฅ^2 + 2๐‘ฅ + 3).ใ€— . ๐‘‘๐‘ฅ = ๐ผ_1+๐ผ_2 =1/2 logโก|๐‘ฅ^2โˆ’2๐‘ฅโˆ’5|+๐ถ1+2/โˆš6 logโก|(๐‘ฅ โˆ’ 1 โˆ’ โˆš6)/(๐‘ฅ โˆ’ 1 + โˆš6)|+๐ถ"2 " =๐Ÿ/๐Ÿ ๐’๐’๐’ˆโก|๐’™^๐Ÿโˆ’๐Ÿ๐’™โˆ’๐Ÿ“|+๐Ÿ/โˆš๐Ÿ” ๐’๐’๐’ˆโก|(๐’™ โˆ’ ๐Ÿ โˆ’ โˆš๐Ÿ”)/(๐’™ โˆ’ ๐Ÿ + โˆš๐Ÿ”)|+๐‘ช

About the Author

Davneet Singh's photo - Teacher, Computer Engineer, Marketer
Davneet Singh
Davneet Singh is a graduate from Indian Institute of Technology, Kanpur. He has been teaching from the past 9 years. He provides courses for Maths and Science at Teachoo.