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Three vectors a, b and c satisfy the condition a + b + c = 0. Evaluate

Example 29 - Chapter 10 Class 12 Vector Algebra - Part 2
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Transcript

Example 29 (Method 1) Three vectors π‘Ž βƒ—, 𝑏 βƒ— and 𝑐 βƒ— satisfy the condition π‘Ž βƒ— + 𝑏 βƒ— + 𝑐 βƒ— = 0 βƒ— . Evaluate the quantity ΞΌ = π‘Ž βƒ— ⋅𝑏 βƒ— + 𝑏 βƒ— β‹… 𝑐 βƒ— + 𝑐 βƒ— β‹… π‘Ž βƒ—, if |π‘Ž βƒ—|=1, |𝑏 βƒ—|= 4 and |c βƒ—|= 2.Given |π‘Ž βƒ—|=1, |𝑏 βƒ—|= 4 and |c βƒ—|= 2 Also, π‘Ž βƒ— + 𝑏 βƒ— + 𝑐 βƒ— = 0 βƒ— So, |𝒂 βƒ—" + " 𝒃 βƒ—" + " 𝒄 βƒ— | = |𝟎 βƒ— | = 0 Now, |𝒂 βƒ—+𝒃 βƒ—+𝒄 βƒ— |2 = (𝒂 βƒ— + 𝒃 βƒ— + 𝒄 βƒ—) . (𝒂 βƒ— + 𝒃 βƒ— + 𝒄 βƒ—) = π‘Ž βƒ—. π‘Ž βƒ— + π‘Ž βƒ— . 𝑏 βƒ— + π‘Ž βƒ— . 𝑐 βƒ— + 𝑏 βƒ— . π‘Ž βƒ— + 𝑏 βƒ— . 𝑏 βƒ— + 𝑏 βƒ— . 𝑐 βƒ— + 𝑐 βƒ— . π‘Ž βƒ— + 𝑐 βƒ— . 𝑏 βƒ— + 𝑐 βƒ— . 𝑐 βƒ— = π‘Ž βƒ—. π‘Ž βƒ— + π‘Ž βƒ— . 𝑏 βƒ— + 𝒄 βƒ— . 𝒂 βƒ— + 𝒂 βƒ— . 𝒃 βƒ— + 𝑏 βƒ— . 𝑏 βƒ— + 𝑏 βƒ— . 𝑐 βƒ— + π‘Ž βƒ— . 𝑐 βƒ— + 𝒃 βƒ— . 𝒄 βƒ— + 𝑐 βƒ— . 𝑐 βƒ— = π‘Ž βƒ— . π‘Ž βƒ— + 𝑏 βƒ— . 𝑏 βƒ— + 𝑐 βƒ— . 𝑐 βƒ— + 2π‘Ž βƒ—. 𝑏 βƒ— + 2𝑏 βƒ—. 𝑐 βƒ— + 2𝑐 βƒ—. π‘Ž βƒ— = 𝒂 βƒ— . 𝒂 βƒ— + 𝒃 βƒ— . 𝒃 βƒ— + 𝒄 βƒ— . 𝒄 βƒ— + 2(π‘Ž βƒ—. 𝑏 βƒ— + 𝑏 βƒ—. 𝑐 βƒ— + 𝑐 βƒ—. π‘Ž βƒ—) = |𝒂 βƒ— |𝟐 + |𝒃 βƒ— |𝟐 + |𝒄 βƒ— |𝟐 + 2 (π‘Ž βƒ—. 𝑏 βƒ— + 𝑏 βƒ—. 𝑐 βƒ— + 𝑐 βƒ— . π‘Ž βƒ—) = 12 + 42 + 22 + 2(π‘Ž βƒ—. 𝑏 βƒ— + 𝑏 βƒ—. 𝑐 βƒ— + 𝑐 βƒ—. π‘Ž βƒ—) = 1 + 16 + 4 + 2(π‘Ž βƒ—. 𝑏 βƒ— + 𝑏 βƒ—. 𝑐 βƒ— + 𝑐 βƒ—. π‘Ž βƒ—) = 21 + 2 (𝒂 βƒ—. 𝒃 βƒ— + 𝒃 βƒ—. 𝒄 βƒ— + 𝒄 βƒ—. 𝒂 βƒ—) So, |π‘Ž βƒ—+𝑏 βƒ—+𝑐 βƒ— |2 = 21 + 2 (π‘Ž βƒ—. 𝑏 βƒ— + 𝑏 βƒ—. 𝑐 βƒ— + 𝑐 βƒ—. π‘Ž βƒ—) Now, given that |𝒂 βƒ—" + " 𝒃 βƒ—" + " 𝒄 βƒ— | = 0 |π‘Ž βƒ—" + " 𝑏 βƒ—" + " 𝑐 βƒ— |2 = 0 21 + 2 (𝒂 βƒ—. 𝒃 βƒ— + 𝒃 βƒ—. 𝒄 βƒ— + 𝒄 βƒ—. 𝒂 βƒ—) = 0 2(π‘Ž βƒ—. 𝑏 βƒ— + 𝑏 βƒ—. 𝑐 βƒ— + 𝑐 βƒ—. π‘Ž βƒ—) = βˆ’21 (π‘Ž βƒ—. 𝑏 βƒ— + 𝑏 βƒ—. 𝑐 βƒ— + 𝑐 βƒ—. π‘Ž βƒ—) = (βˆ’21)/2 Therefore, 𝝁 = 𝒂 βƒ—. 𝒃 βƒ— + 𝒃 βƒ—. 𝒄 βƒ— + 𝒄 βƒ— . 𝒂 βƒ— = (βˆ’πŸπŸ)/𝟐 Example 29 (Method 2) Three vectors π‘Ž βƒ—, 𝑏 βƒ— and 𝑐 βƒ— satisfy the condition π‘Ž βƒ— + 𝑏 βƒ— + 𝑐 βƒ— = 0 βƒ— . Evaluate the quantity ΞΌ = π‘Ž βƒ— ⋅𝑏 βƒ— + 𝑏 βƒ— β‹… 𝑐 βƒ— + 𝑐 βƒ— β‹… π‘Ž βƒ—, if |π‘Ž βƒ—|=1, |𝑏 βƒ—|= 4 and |c βƒ—|= 2.Given |π‘Ž βƒ—| = 1, |𝑏 βƒ—|= 4 and |c βƒ—|= 2 Also, ( π‘Ž βƒ— + 𝑏 βƒ— + 𝑐 βƒ— ) = 0 βƒ— Now, 𝒂 βƒ— . (𝒂 βƒ— + 𝒃 βƒ— + 𝒄 βƒ—) = π‘Ž βƒ— . π‘Ž βƒ— + π‘Ž βƒ—. 𝑏 βƒ— + π‘Ž βƒ— . 𝑐 βƒ— π‘Ž βƒ— . 0 βƒ— = π‘Ž βƒ—. π‘Ž βƒ— + π‘Ž βƒ—. 𝑏 βƒ— + π‘Ž βƒ—. 𝑐 βƒ— 0 = 𝒂 βƒ—. 𝒂 βƒ— + π‘Ž βƒ—. 𝑏 βƒ— + π‘Ž βƒ—. 𝑐 βƒ— 0 βƒ— = |𝒂 βƒ— |𝟐 + π‘Ž βƒ—. 𝑏 βƒ— + 𝒂 βƒ—. 𝒄 βƒ— (Using prop : π‘Ž βƒ— . π‘Ž βƒ— = |π‘Ž βƒ— |2 ) 0 βƒ— = |π‘Ž βƒ— |2 + π‘Ž βƒ—. 𝑏 βƒ— + 𝒄 βƒ—. 𝒂 βƒ— 0 = 12 + π‘Ž βƒ—. 𝑏 βƒ— + 𝑐 βƒ—. π‘Ž βƒ— 0 = 1 + π‘Ž βƒ—. 𝑏 βƒ— + 𝑐 βƒ—. π‘Ž βƒ— π‘Ž βƒ—. 𝑏 βƒ— + 𝑐 βƒ—. π‘Ž βƒ— = βˆ’1 Also, 𝒃 βƒ— . (𝒂 βƒ— + 𝒃 βƒ— + 𝒄 βƒ—) = 𝑏 βƒ— . π‘Ž βƒ— + 𝑏 βƒ—. 𝑏 βƒ— + 𝑏 βƒ— . 𝑐 βƒ— 𝑏 βƒ— . 0 βƒ— = 𝑏 βƒ—. π‘Ž βƒ— + 𝑏 βƒ—. 𝑏 βƒ— + 𝑏 βƒ—. 𝑐 βƒ— 0 = 𝒃 βƒ—. 𝒂 βƒ— + 𝑏 βƒ—. 𝑏 βƒ— + 𝑏 βƒ—. 𝑐 βƒ— 0 = 𝒂 βƒ—. 𝒃 βƒ— + 𝒃 βƒ—. 𝒃 βƒ— + 𝑏 βƒ—. 𝑐 βƒ— 0 = π‘Ž βƒ—. 𝑏 βƒ— + |𝒃 βƒ— |2 + 𝑏 βƒ—. 𝑐 βƒ— 0 = π‘Ž βƒ—. 𝑏 βƒ— + 42 + 𝑏 βƒ— . 𝑐 βƒ— 0 = π‘Ž βƒ—. 𝑏 βƒ— + 16 + 𝑏 βƒ— . 𝑐 βƒ— π‘Ž βƒ—. 𝑏 βƒ— + 𝑏 βƒ—. 𝑐 βƒ— = βˆ’16 Also 𝒄 βƒ— . (𝒂 βƒ—+ 𝒃 βƒ— + 𝒄 βƒ—) = 𝑐 βƒ— . π‘Ž βƒ— + 𝑐 βƒ— . 𝑏 βƒ— + 𝑐 βƒ— . 𝑐 βƒ— 𝑐 βƒ—. 0 βƒ— = 𝑐 βƒ—. π‘Ž βƒ— + 𝑐 βƒ—. 𝑏 βƒ— + 𝑐 βƒ—. 𝑐 βƒ— 0 = 𝑐 βƒ—. π‘Ž βƒ— + 𝒄 βƒ—. 𝒃 βƒ— + 𝑐 βƒ—. 𝑐 βƒ— 0 = 𝑐 βƒ—. π‘Ž βƒ— + 𝒃 βƒ—. 𝒄 βƒ— + 𝒄 βƒ—. 𝒄 βƒ— 0 = 𝑐 βƒ—. π‘Ž βƒ— + 𝑏 βƒ—. 𝑐 βƒ— + |𝒄 βƒ— |2 0 = 𝑐 βƒ—. π‘Ž βƒ— + 𝑏 βƒ— . 𝑐 βƒ— + 22 0 = 𝑐 βƒ—. π‘Ž βƒ— + 𝑏 βƒ— . 𝑐 βƒ— + 4 𝑐 βƒ—. π‘Ž βƒ— + 𝑏 βƒ—. 𝑐 βƒ— = βˆ’4 Adding (1), (2) and (3), (𝒂 βƒ—. 𝒃 βƒ— + 𝒄 βƒ—. 𝒂 βƒ—) + (𝒂 βƒ—. 𝒃 βƒ— + 𝒃 βƒ—. 𝒄 βƒ—) + (𝒄 βƒ—. 𝒂 βƒ— + 𝒃 βƒ—. 𝒄 βƒ—) = βˆ’1 + (–16) + (–4) 2π‘Ž βƒ—. 𝑏 βƒ— + 2𝑐 βƒ—. π‘Ž βƒ— + 2𝑏 βƒ—. 𝑐 βƒ— = βˆ’21 2(π‘Ž βƒ—. 𝑏 βƒ— + 𝑏. 𝑐 βƒ— + 𝑐 βƒ—. π‘Ž βƒ—) = βˆ’21 π‘Ž βƒ—. 𝑏 βƒ— + 𝑏 βƒ—. 𝑐 βƒ— + 𝑐 βƒ—. π‘Ž βƒ— = (βˆ’21)/2 Therefore, 𝝁 = 𝒂 βƒ—. 𝒃 βƒ— + 𝒃 βƒ—. 𝒄 βƒ— + 𝒄 βƒ— . 𝒂 βƒ— = (βˆ’πŸπŸ)/𝟐

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Davneet Singh

Davneet Singh has done his B.Tech from Indian Institute of Technology, Kanpur. He has been teaching from the past 12 years. He provides courses for Maths, Science, Social Science, Physics, Chemistry, Computer Science at Teachoo.