Example 20 - Show |a + b| < |a| + |b| (triangle inequality)

Example 20 - Chapter 10 Class 12 Vector Algebra - Part 2
Example 20 - Chapter 10 Class 12 Vector Algebra - Part 3

  1. Chapter 10 Class 12 Vector Algebra (Term 2)
  2. Serial order wise

Transcript

Example 20 For any two vectors ๐‘Ž โƒ— and ๐‘ โƒ— , we always have |๐‘Ž โƒ— + ๐‘ โƒ—| โ‰ค |๐‘Ž โƒ—| + |๐‘ โƒ—| (triangle inequality).To Prove: |๐‘Ž โƒ— + ๐‘ โƒ—| โ‰ค |๐‘Ž โƒ—| + |๐‘ โƒ—| We first prove trivially, |๐‘Ž โƒ— + ๐‘ โƒ—| = |0 โƒ—" + " ๐‘ โƒ— | = |๐‘ โƒ— | "|" ๐‘Ž โƒ—"| + |" ๐‘ โƒ—"|" = 0 + |๐‘ โƒ— | = |๐‘ โƒ— | |๐‘Ž โƒ— + ๐‘ โƒ—| = |๐‘Ž โƒ—+0 โƒ— | = |๐‘Ž โƒ— | "|" ๐‘Ž โƒ—"| + |" ๐‘ โƒ—"|" = |๐‘Ž โƒ— | + 0 = |๐‘Ž โƒ— | Therefore, the inequality |๐‘Ž โƒ— + ๐‘ โƒ—| โ‰ค |๐‘Ž โƒ—| + |๐‘ โƒ—| is satisfied trivially. Let us assume ๐’‚ โƒ— โ‰  ๐ŸŽ โƒ— & ๐’ƒ โƒ— โ‰  ๐ŸŽ โƒ— |๐‘Ž โƒ— + ๐‘ โƒ—|2 = (๐‘Ž โƒ— + ๐‘ โƒ—) . (๐‘Ž โƒ— + ๐‘ โƒ—) = ๐‘Ž โƒ— . ๐‘Ž โƒ— + ๐‘Ž โƒ— . ๐‘ โƒ— + ๐’ƒ โƒ— . ๐’‚ โƒ— + ๐‘ โƒ—. ๐‘ โƒ— = ๐‘Ž โƒ— . ๐‘Ž โƒ— + ๐‘Ž โƒ— . ๐‘ โƒ— + ๐’‚ โƒ— . ๐’ƒ โƒ— + ๐‘ โƒ—. ๐‘ โƒ— = ๐’‚ โƒ— . ๐’‚ โƒ— + 2๐‘Ž โƒ—. ๐‘ โƒ— + ๐’ƒ โƒ—. ๐’ƒ โƒ— = |๐’‚ โƒ—|2 + 2๐‘Ž โƒ—. ๐‘ โƒ— + |๐’ƒ โƒ—|2 = |๐‘Ž โƒ—|2 + 2|๐’‚ โƒ—||๐’ƒ โƒ—| cos ฮธ + |๐‘ โƒ—|2 Thus, |๐‘Ž โƒ— + ๐‘ โƒ—|2 = |๐‘Ž โƒ—|2 + 2|๐‘Ž โƒ—||๐‘ โƒ—| cos ฮธ + |๐‘ โƒ—|2 (Using prop : ๐‘Ž โƒ—. ๐‘Ž โƒ— = |๐‘Ž โƒ—|2) (Using prop : ๐‘Ž โƒ—. ๐‘Ž โƒ— = |๐‘Ž โƒ—|2) We know that cos ฮธ โ‰ค 1 Multiplying 2|๐‘Ž โƒ—||๐‘ โƒ—| on both sides 2|๐’‚ โƒ—||๐’ƒ โƒ—| cos ฮธ โ‰ค 2|๐’‚ โƒ—||๐’ƒ โƒ—| Adding |๐‘Ž โƒ—|2 + |๐‘ โƒ—|2 on both sides, |๐’‚ โƒ—|2 + |๐’ƒ โƒ—|2 + 2|๐’‚ โƒ—||๐’ƒ โƒ—| cos ฮธ โ‰ค |๐‘Ž โƒ—|2 + |๐‘ โƒ—|2 + 2 |๐‘Ž โƒ—| |๐‘ โƒ—| |๐’‚ โƒ— + ๐’ƒ โƒ—|2 โ‰ค (|๐‘Ž โƒ—| + |๐‘ โƒ—|) 2 Taking square root both sides |๐‘Ž โƒ— + ๐‘ โƒ—| โ‰ค (|๐‘Ž โƒ—| + |๐‘ โƒ—|) Hence proved.

About the Author

Davneet Singh's photo - Teacher, Engineer, Marketer
Davneet Singh
Davneet Singh is a graduate from Indian Institute of Technology, Kanpur. He has been teaching from the past 10 years. He provides courses for Maths and Science at Teachoo.