Example 19 - Show |a.b| <= |a| |b| (Cauchy-Schwartz inequality)

Example 19 - Chapter 10 Class 12 Vector Algebra - Part 2
Example 19 - Chapter 10 Class 12 Vector Algebra - Part 3

  1. Chapter 10 Class 12 Vector Algebra
  2. Serial order wise

Transcript

Example 19 For any two vectors ๐‘Ž โƒ— and ๐‘ โƒ— , we always have |๐‘Ž โƒ— โ‹…๐‘ โƒ—| โ‰ค |๐‘Ž โƒ—||๐‘ โƒ—| (Cauchy - Schwartz inequality). To prove : |๐‘Ž โƒ— โ‹…๐‘ โƒ—| โ‰ค |๐‘Ž โƒ—||๐‘ โƒ—| We check trivially first |๐‘Ž โƒ— โ‹…๐‘ โƒ—| = |"|" ๐‘Ž โƒ—"||" ๐‘ โƒ—"| cos ฮธ" | = 0 ร— |๐‘ โƒ—| cos ฮธ = 0 "|" ๐‘Ž โƒ—"||" ๐‘ โƒ—"|" = 0 ร— |๐‘ โƒ—| = 0 |๐‘Ž โƒ— โ‹…๐‘ โƒ—| = |"|" ๐‘Ž โƒ—"||" ๐‘ โƒ—"| cos ฮธ" | = |๐‘Ž โƒ—| ร— 0 ร— cos ฮธ = 0 |๐‘Ž โƒ— โ‹…๐‘ โƒ—| = |"|" ๐‘Ž โƒ—"||" ๐‘ โƒ—"| cos ฮธ" | = |๐‘Ž โƒ—| ร— 0 ร— cos ฮธ = 0 "|" ๐‘Ž โƒ—"||" ๐‘ โƒ—"|" = |๐‘Ž โƒ—| ร— 0 = 0 Therefore, the inequality |๐‘Ž โƒ—" โ‹…" ๐‘ โƒ— | โ‰ค |๐‘Ž โƒ—| |๐‘ โƒ—| is satisfied trivially Let us assume ๐’‚ โƒ— โ‰  ๐ŸŽ โƒ— & ๐’ƒ โƒ— โ‰  ๐ŸŽ โƒ— ๐‘Ž โƒ— โ‹…๐‘ โƒ— = "|" ๐‘Ž โƒ—"||" ๐‘ โƒ—"| cos ฮธ" Taking modulus on both sides, |๐’‚ โƒ— โ‹…๐’ƒ โƒ—| = |"|" ๐’‚ โƒ—"||" ๐’ƒ โƒ—"| cos ฮธ" | |๐‘Ž โƒ— โ‹…๐‘ โƒ—| = "|" ๐‘Ž โƒ—"||" ๐‘ โƒ—"|" |"cos ฮธ" | |"cos ฮธ" | = ("|" ๐‘Ž โƒ—" โ‹…" ๐‘ โƒ—"|" )/("|" ๐‘Ž โƒ—"||" ๐‘ โƒ—"|" ) We know that โˆ’1 โ‰ค cos ฮธ โ‰ค 1 0 โ‰ค "|cos ฮธ|" โ‰ค 1 โˆด ("|" ๐‘Ž โƒ—" โ‹…" ๐‘ โƒ—"|" )/("|" ๐‘Ž โƒ—"||" ๐‘ โƒ—"|" ) โ‰ค 1 So, |๐’‚ โƒ—โ‹…๐’ƒ โƒ—| โ‰ค "|" ๐’‚ โƒ—"||" ๐’ƒ โƒ—"|" Hence proved.

About the Author

Davneet Singh's photo - Teacher, Engineer, Marketer
Davneet Singh
Davneet Singh is a graduate from Indian Institute of Technology, Kanpur. He has been teaching from the past 10 years. He provides courses for Maths and Science at Teachoo.