web analytics

Misc 15 - If (x - a)2 + (y - b)2 = c2, prove [1 + (dy/dx)2]3/2 - Finding second order derivatives- Implicit form

Slide24.JPG
Slide25.JPG Misc - part 2i.jpg Misc - part 2 ii.jpg

  1. Chapter 5 Class 12 Continuity and Differentiability
  2. Serial order wise
Ask Download

Transcript

Misc 15 If ๐‘ฅ โ€“ ๐‘Ž๏ทฏ๏ทฎ2๏ทฏ+ ๐‘ฆ โ€“ ๐‘๏ทฏ๏ทฎ2๏ทฏ= ๐‘2, for some ๐‘ > 0, prove that 1 + ๐‘‘๐‘ฆ๏ทฎ๐‘‘๐‘ฅ๏ทฏ๏ทฏ๏ทฎ2๏ทฏ๏ทฏ๏ทฎ ๐‘‘๏ทฎ2๏ทฏ๐‘ฆ๏ทฎ ๐‘‘๐‘ฅ๏ทฎ2๏ทฏ๏ทฏ๏ทฏ๏ทฎ 3๏ทฎ2๏ทฏ๏ทฏis a constant independent of a and b. First we will calculate ๐‘‘๐‘ฆ๏ทฎ๐‘‘๐‘ฅ๏ทฏ ๐‘ฅ โ€“ ๐‘Ž๏ทฏ๏ทฎ2๏ทฏ+ ๐‘ฆ โ€“ ๐‘๏ทฏ๏ทฎ2๏ทฏ= ๐‘2 Differentiating ๐‘ค.๐‘Ÿ.๐‘ก.๐‘ฅ. ๐‘‘ ๐‘ฅ โ€“ ๐‘Ž๏ทฏ๏ทฎ2๏ทฏ+ ๐‘ฆ โ€“ ๐‘๏ทฏ๏ทฎ2๏ทฏ๏ทฏ๏ทฎ๐‘‘๐‘ฅ๏ทฏ = ๐‘‘ ๐‘๏ทฎ2๏ทฏ๏ทฏ๏ทฎ๐‘‘๐‘ฅ๏ทฏ ๐‘‘ ๐‘ฅ โ€“ ๐‘Ž๏ทฏ๏ทฎ2๏ทฏ๏ทฏ๏ทฎ๐‘‘๐‘ฅ๏ทฏ + ๐‘‘ ๐‘ฆ โ€“ ๐‘๏ทฏ๏ทฎ2๏ทฏ๏ทฏ๏ทฎ๐‘‘๐‘ฅ๏ทฏ = 0 2 ๐‘ฅ โ€“ ๐‘Ž๏ทฏ๏ทฎ2 โˆ’1 ๏ทฏ . ๐‘‘ ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘Ž๏ทฏ๏ทฎ๐‘‘๐‘ฅ๏ทฏ + 2 ๐‘ฆ โ€“ ๐‘๏ทฏ๏ทฎ2 โˆ’1๏ทฏ . ๐‘‘ ๐‘ฆ โˆ’ ๐‘๏ทฏ๏ทฎ๐‘‘๐‘ฅ๏ทฏ = 0 2 ๐‘ฅ โ€“ ๐‘Ž๏ทฏ 1 โˆ’0๏ทฏ + 2 ๐‘ฆ โ€“ ๐‘๏ทฏ . ๐‘‘๐‘ฆ๏ทฎ๐‘‘๐‘ฅ๏ทฏ โˆ’0๏ทฏ = 0 2 ๐‘ฅ โ€“ ๐‘Ž๏ทฏ + 2 ๐‘ฆ โ€“ ๐‘๏ทฏ . ๐‘‘๐‘ฆ๏ทฎ๐‘‘๐‘ฅ๏ทฏ๏ทฏ = 0 2 ๐‘ฆ โ€“ ๐‘๏ทฏ . ๐‘‘๐‘ฆ๏ทฎ๐‘‘๐‘ฅ๏ทฏ = โˆ’2 ๐‘ฅ โ€“ ๐‘Ž๏ทฏ ๐‘‘๐‘ฆ๏ทฎ๐‘‘๐‘ฅ๏ทฏ = โˆ’2 ๐‘ฅ โ€“ ๐‘Ž๏ทฏ๏ทฎ2 ๐‘ฆ โ€“ ๐‘๏ทฏ๏ทฏ ๐’…๐’š๏ทฎ๐’…๐’™๏ทฏ = โˆ’ ๐’™ โˆ’ ๐’‚๏ทฏ๏ทฎ๐’š โˆ’ ๐’ƒ๏ทฏ Again Differentiating ๐‘ค.๐‘Ÿ.๐‘ก.๐‘ฅ. ๐‘‘๏ทฎ๐‘‘๐‘ฅ๏ทฏ ๐‘‘๐‘ฆ๏ทฎ๐‘‘๐‘ฅ๏ทฏ๏ทฏ = ๐‘‘๏ทฎ๐‘‘๐‘ฅ๏ทฏ โˆ’ ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘Ž๏ทฏ๏ทฎ๐‘ฆ โˆ’ ๐‘๏ทฏ๏ทฏ ๐‘‘๏ทฎ2๏ทฏ๐‘ฆ๏ทฎ๐‘‘ ๐‘ฅ๏ทฎ2๏ทฏ๏ทฏ = โˆ’ ๐‘‘๏ทฎ๐‘‘๐‘ฅ๏ทฏ ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘Ž๏ทฎ๐‘ฆ โˆ’ ๐‘๏ทฏ๏ทฏ ๐‘‘๐‘ฆ๏ทฎ๐‘‘๐‘ฅ๏ทฏ = ๐‘‘ ๐‘ฅ โ€“ ๐‘Ž๏ทฏ๏ทฎ๐‘‘๐‘ฅ๏ทฏ ๐‘ฆ โ€“ ๐‘๏ทฏ โˆ’ ๐‘‘ ๐‘ฆ โ€“ ๐‘๏ทฏ๏ทฎ๐‘‘๐‘ฅ๏ทฏ . ๐‘ฅ โ€“ ๐‘Ž๏ทฏ๏ทฎ ๐‘ฆ โˆ’ ๐‘๏ทฏ๏ทฎ2๏ทฏ๏ทฏ๏ทฏ ๐‘‘๐‘ฆ๏ทฎ๐‘‘๐‘ฅ๏ทฏ = 1 โˆ’ 0๏ทฏ ๐‘ฆ โ€“ ๐‘๏ทฏ โˆ’ ๐‘‘๐‘ฆ๏ทฎ๐‘‘๐‘ฅ๏ทฏ โˆ’ 0๏ทฏ ๐‘ฅ โ€“ ๐‘Ž๏ทฏ๏ทฎ ๐‘ฆ โˆ’ ๐‘๏ทฏ๏ทฎ2๏ทฏ๏ทฏ๏ทฏ ๐‘‘๐‘ฆ๏ทฎ๐‘‘๐‘ฅ๏ทฏ = ๐‘ฆ โ€“ ๐‘๏ทฏ โˆ’ ๐‘‘๐‘ฆ๏ทฎ๐‘‘๐‘ฅ๏ทฏ๏ทฏ ๐‘ฅ โ€“ ๐‘Ž๏ทฏ๏ทฎ ๐‘ฆ โˆ’ ๐‘๏ทฏ๏ทฎ2๏ทฏ๏ทฏ๏ทฏ ๐‘‘๏ทฎ2๏ทฏ๐‘ฆ๏ทฎ๐‘‘ ๐‘ฅ๏ทฎ2๏ทฏ๏ทฏ = ๐‘ฆ โ€“ ๐‘๏ทฏ โˆ’ โˆ’ ๐‘ฅ โ€“ ๐‘Ž๏ทฏ๏ทฎ ๐‘ฆ โ€“ ๐‘๏ทฏ๏ทฏ ๐‘ฅ โ€“ ๐‘Ž๏ทฏ๏ทฎ ๐‘ฆ โˆ’ ๐‘๏ทฏ๏ทฎ2๏ทฏ๏ทฏ๏ทฏ ๐‘‘๏ทฎ2๏ทฏ๐‘ฆ๏ทฎ๐‘‘ ๐‘ฅ๏ทฎ2๏ทฏ๏ทฏ= ๐‘ฆ โ€“ ๐‘๏ทฏ๏ทฎ2๏ทฏ + ๐‘ฅ โ€“ ๐‘Ž๏ทฏ๏ทฎ2๏ทฏ๏ทฎ ๐‘ฆ โˆ’ ๐‘๏ทฏ๏ทฎ2๏ทฏ ๐‘ฆ โˆ’ ๐‘๏ทฏ๏ทฏ๏ทฏ ๐’…๏ทฎ๐Ÿ๏ทฏ๐’š๏ทฎ๐’… ๐’™๏ทฎ๐Ÿ๏ทฏ๏ทฏ= ๐’„๏ทฎ๐Ÿ๏ทฏ๏ทฎ ๐’š โˆ’ ๐’ƒ๏ทฏ๏ทฎ๐Ÿ‘๏ทฏ๏ทฏ (๐’…^๐Ÿ ๐’š)/(๐’…๐’™^๐Ÿ )= (โˆ’๐’„^๐Ÿ)/(๐’š โˆ’ ๐’ƒ)^๐Ÿ‘ Now, ใ€–[1+ (๐‘‘๐‘ฆ/๐‘‘๐‘ฅ)^2 ]/((๐‘‘^2 ๐‘ฆ)/ใ€–๐‘‘๐‘ฅใ€—^2 )ใ€—^(3/2) Putting values = ใ€–[1+ ((โˆ’(๐‘ฅ โ€“ ๐‘Ž))/(๐‘ฆ โ€“ ๐‘))^2 ]/((โˆ’๐‘^2)/(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘)^3 )ใ€—^(3/2) = โˆ’ ใ€–[((๐‘ฆ โˆ’ ๐‘)^2 + (๐‘ฅ โ€“ ๐‘Ž)^2)/(๐‘ฆ โ€“ ๐‘)^2 ]/(๐‘^2/(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘)^3 )ใ€—^(3/2) = โˆ’ ใ€–[๐‘^2/(๐‘ฆ โ€“ ๐‘)^2 ]/(๐‘^2/(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘)^3 )ใ€—^(3/2) = โˆ’ [๐‘^2/(๐‘ฆ โ€“ ๐‘)^2 ]^(3/2) ร— (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘)^3/๐‘^2 = โˆ’ (๐‘/(๐‘ฆ โ€“ ๐‘))^(2 ร— 3/2) ร— (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘)^3/๐‘^2 "= โˆ’" (๐‘/(๐‘ฆ โ€“ ๐‘))^3 " ร— " (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘)^3/๐‘^2 "= โˆ’" ๐‘^3/๐‘^2 ร— (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘)^3/(๐‘ฆ โˆ’ ๐‘)^3 = โˆ’ ๐’„ = k Which is constant independent of a & b . Hence proved .

About the Author

Davneet Singh's photo - Teacher, Computer Engineer, Marketer
Davneet Singh
Davneet Singh is a graduate from Indian Institute of Technology, Kanpur. He provides courses for Mathematics from Class 9 to 12. You can ask questions here.
Jail