Check Full Chapter Explained - Continuity and Differentiability - Continuity and Differentiability Class 12





Last updated at Jan. 3, 2020 by Teachoo
Check Full Chapter Explained - Continuity and Differentiability - Continuity and Differentiability Class 12
Transcript
Misc 15 If (๐ฅ โ ๐)^2+ (๐ฆ โ ๐)^2= ๐2, for some ๐ > 0, prove that ใ[1 + (๐๐ฆ/๐๐ฅ)^2 ]/((๐^2 ๐ฆ)/ใ๐๐ฅใ^2 )ใ^(3/2)is a constant independent of a and b. First we will calculate ๐๐ฆ/๐๐ฅ (๐ฅ โ ๐)^2+ (๐ฆ โ ๐)^2= ๐2 Differentiating ๐ค.๐.๐ก.๐ฅ. ๐((๐ฅ โ ๐)^2+ (๐ฆ โ ๐)^2 )/๐๐ฅ = ๐(๐^2 )/๐๐ฅ ๐((๐ฅ โ ๐)^2 )/๐๐ฅ +" " ๐((๐ฆ โ ๐)^2 )/๐๐ฅ = 0 2 (๐ฅ โ ๐)^(2 โ1 ) . ๐(๐ฅ โ ๐)/๐๐ฅ + ใ2 (๐ฆ โ ๐)ใ^(2 โ1) . ๐(๐ฆ โ ๐)/๐๐ฅ = 0 2 (๐ฅ โ ๐) (1 โ0) + 2(๐ฆ โ ๐) . (๐๐ฆ/๐๐ฅ โ0) = 0 2 (๐ฅ โ ๐) + 2(๐ฆ โ ๐) . (๐๐ฆ/๐๐ฅ) = 0 2(๐ฆ โ ๐) . ๐๐ฆ/๐๐ฅ = โ2 (๐ฅ โ ๐) ๐๐ฆ/๐๐ฅ = (โ2 (๐ฅ โ ๐))/2(๐ฆ โ ๐) ๐ ๐/๐ ๐ = (โ(๐ โ ๐))/(๐ โ ๐) Again Differentiating ๐ค.๐.๐ก.๐ฅ. ๐/๐๐ฅ (๐๐ฆ/๐๐ฅ) = ๐/๐๐ฅ ((โ(๐ฅ โ ๐))/(๐ฆ โ ๐)) (๐^2 ๐ฆ)/(๐๐ฅ^2 ) = โ ๐/๐๐ฅ ((๐ฅ โ ๐)/(๐ฆ โ ๐)) (๐^2 ๐ฆ)/(๐๐ฅ^2 )= โ ((๐(๐ฅ โ ๐)/๐๐ฅ (๐ฆ โ ๐) โ ๐(๐ฆ โ ๐)/๐๐ฅ . (๐ฅ โ ๐))/(๐ฆ โ ๐)^2 ) (๐^2 ๐ฆ)/(๐๐ฅ^2 ) = โ (((1 โ 0) (๐ฆ โ ๐) โ (๐๐ฆ/๐๐ฅ โ 0)(๐ฅ โ ๐))/(๐ฆ โ ๐)^2 ) using quotient rule As (๐ข/๐ฃ)โฒ = (๐ข^โฒ ๐ฃ โ ๐ฃ^โฒ ๐ข)/๐ฃ^2 where u = x โ ๐ & v = y โ b (๐^2 ๐ฆ)/(๐๐ฅ^2 ) = โ (((๐ฆ โ ๐) โ (๐๐ฆ/๐๐ฅ)(๐ฅ โ ๐))/(๐ฆ โ ๐)^2 ) (๐^2 ๐ฆ)/(๐๐ฅ^2 ) = โ (((๐ฆ โ ๐) โ ((โ ๐ฅ โ ๐))/((๐ฆ โ ๐) ) (๐ฅ โ ๐))/(๐ฆ โ ๐)^2 ) (๐^2 ๐ฆ)/(๐๐ฅ^2 )= โ (((๐ฆ โ ๐)^2 + (๐ฅ โ ๐)^2)/((๐ฆ โ ๐)^2 (๐ฆ โ ๐) )) (๐ ^๐ ๐)/(๐ ๐^๐ )= (โ๐^๐)/(๐ โ ๐)^๐ Now, ใ[1+ (๐๐ฆ/๐๐ฅ)^2 ]/((๐^2 ๐ฆ)/ใ๐๐ฅใ^2 )ใ^(3/2) (Given (๐ฅ โ ๐)^2+ (๐ฆ โ ๐)^2= ๐2) Putting values = ใ[1+ ((โ(๐ฅ โ ๐))/(๐ฆ โ ๐))^2 ]/((โ๐^2)/(๐ฆ โ ๐)^3 )ใ^(3/2) = โ ใ[((๐ฆ โ ๐)^2 + (๐ฅ โ ๐)^2)/(๐ฆ โ ๐)^2 ]/(๐^2/(๐ฆ โ ๐)^3 )ใ^(3/2) = โ ใ[๐^2/(๐ฆ โ ๐)^2 ]/(๐^2/(๐ฆ โ ๐)^3 )ใ^(3/2) = โ [๐^2/(๐ฆ โ ๐)^2 ]^(3/2) ร (๐ฆ โ ๐)^3/๐^2 = โ (๐/(๐ฆ โ ๐))^(2 ร 3/2) ร (๐ฆ โ ๐)^3/๐^2 "= โ" (๐/(๐ฆ โ ๐))^3 " ร " (๐ฆ โ ๐)^3/๐^2 "= โ" ๐^3/๐^2 ร (๐ฆ โ ๐)^3/(๐ฆ โ ๐)^3 = โ ๐ = k Which is constant independent of a & b . Hence proved .
Miscellaneous
Misc 2
Misc 3
Misc 4
Misc 5 Important
Misc 6 Important
Misc 7 Important
Misc 8
Misc 9 Important
Misc 10
Misc 11 Important
Misc 12
Misc 13 Important
Misc 14 Important
Misc 15 Important You are here
Misc 16 Important
Misc 17 Important
Misc 18
Misc 19 Important
Misc 20
Misc 21
Misc 22
Misc 23 Important
About the Author