Example 12 - Chapter 7 Class 12 Integrals

Transcript

Example 12 Find ﷮﷮ 𝑥﷮2﷯+ 1﷮ 𝑥﷮2﷯ − 5𝑥 + 6﷯﷯ 𝑑𝑥 Solving Integrand 𝑥﷮2﷯+ 1﷮ 𝑥﷮2﷯ − 5𝑥 + 6﷯ 𝑥﷮2﷯+ 1﷮ 𝑥﷮2﷯ − 5𝑥 + 6﷯= 𝑥﷮2﷯+ 1 − 5𝑥 + 6 + 5𝑥 − 6﷮ 𝑥﷮2﷯ − 5𝑥 + 6﷯ = 𝑥﷮2﷯ − 5𝑥 + 6﷯ + 5𝑥 − 5﷯﷮ 𝑥﷮2﷯ − 5𝑥 + 6﷯ = 𝑥﷮2﷯ − 5𝑥 + 6﷮ 𝑥﷮2﷯ − 5𝑥 + 6﷯ + 5𝑥 − 5﷮ 𝑥﷮2﷯ − 5𝑥 + 6﷯ =1+ 5𝑥 − 5﷮ 𝑥﷮2﷯ − 5𝑥 + 6﷯ =1+ 5𝑥 − 5﷮ 𝑥﷮2﷯ − 2𝑥 − 3𝑥 + 6﷯ =1+ 5𝑥 − 5﷮𝑥 𝑥 − 2﷯ −3 𝑥 − 2﷯﷯ =1+ 5𝑥 − 5﷮ 𝑥 − 2﷯ 𝑥 − 3﷯﷯ Now solving 5𝑥 − 5﷮ 𝑥 − 2﷯ 𝑥 − 3﷯﷯ using partial fractions Let 5 𝑥 − 1﷯﷮ 𝑥 − 2﷯ 𝑥 − 3﷯﷯= 𝐴﷮ 𝑥 − 2﷯﷯ + 𝐵﷮ 𝑥 − 3﷯﷯ 5 𝑥 − 1﷯﷮ 𝑥 − 2﷯ 𝑥 − 3﷯﷯= 𝐴 𝑥 − 3﷯ + 𝐵 𝑥 − 2﷯﷮ 𝑥 − 2﷯ 𝑥 − 3﷯﷯ ⇒5 𝑥−1﷯=𝐴 𝑥−3﷯+𝐵 𝑥−2﷯ Hence we can write it as 5 𝑥 − 1﷯﷮ 𝑥 − 2﷯ 𝑥 − 3﷯﷯ = 𝐴﷮ 𝑥 − 2﷯﷯ + 𝐵﷮ 𝑥 − 3﷯﷯ Now, ﷮﷮ 𝑥﷮2﷯+ 1﷮ 𝑥﷮2﷯ − 5𝑥 + 6﷯﷯ 𝑑𝑥= ﷮﷮ 1+ 5 𝑥 − 1﷯﷮ 𝑥 − 2﷯ 𝑥 − 3﷯﷯﷯﷯ 𝑑𝑥 = ﷮﷮1+ −5﷮ 𝑥 − 2﷯﷯ + 10﷮ 𝑥 − 3﷯﷯﷯ 𝑑𝑥 = ﷮﷮1﷯𝑑𝑥− ﷮﷮ −5﷮ 𝑥 − 2﷯﷯﷯ 𝑑𝑥+ ﷮﷮ 10﷮ 𝑥 − 3﷯﷯﷯ 𝑑𝑥 =𝒙−𝟓 𝒍𝒐𝒈﷮ 𝒙−𝟐﷯﷯+𝟏𝟎 𝒍𝒐𝒈﷮ 𝒙−𝟑﷯﷯+𝐂