Ex 7.3, 22 - Chapter 7 Class 12 Integrals

Transcript

Ex 7.3, 22 1/(cos⁡(𝑥 − 𝑎) cos⁡〖(𝑥 − 𝑏)〗 ) ∫1▒1/(cos⁡(𝑥 − 𝑎) cos⁡〖(𝑥 − 𝑏)〗 ) Multiply & Divide by 𝒔𝒊𝒏⁡(𝒂−𝒃) =∫1▒〖sin⁡(𝑎 − 𝑏)/sin⁡(𝑎 − 𝑏) ×1/(cos⁡(𝑥 − 𝑎) cos⁡(𝑥 − 𝑏) )〗 𝑑𝑥 =1/sin⁡(𝑎 − 𝑏) ∫1▒sin⁡(𝑎 − 𝑏)/(cos⁡(𝑥 − 𝑎) cos⁡(𝑥 − 𝑏) ) 𝑑𝑥 =1/sin⁡(𝑎 − 𝑏) ∫1▒sin⁡(𝑎 − 𝑏 + 𝑥 − 𝑥)/(cos⁡(𝑥 − 𝑎) cos⁡(𝑥 − 𝑏) ) 𝑑𝑥 =1/sin⁡(𝑎 − 𝑏) ∫1▒sin⁡((𝑥 − 𝑏) + (𝑎 − 𝑥))/(cos⁡(𝑥 − 𝑎) cos⁡(𝑥 − 𝑏) ) 𝑑𝑥 =1/sin⁡(𝑎 − 𝑏) ∫1▒sin⁡((𝑥 − 𝑏) − (𝑥 − 𝑎))/(cos⁡(𝑥 − 𝑎) cos⁡(𝑥 − 𝑏) ) 𝑑𝑥 =1/sin⁡(𝑎 − 𝑏) ∫1▒(sin⁡(𝑥 − 𝑏) cos⁡(𝑥 − 𝑎) − cos⁡(𝑥 − 𝑏) sin⁡(𝑥 − 𝑎))/(cos⁡(𝑥 − 𝑎) cos⁡(𝑥 − 𝑏) ) 𝑑𝑥 =1/sin⁡(𝑎 − 𝑏) ∫1▒((sin⁡(𝑥 − 𝑏) cos⁡(𝑥 − 𝑎))/(cos⁡(𝑥 − 𝑎) cos⁡(𝑥 − 𝑏) ) − (cos⁡(𝑥 − 𝑏) sin⁡(𝑥 − 𝑎))/(cos⁡(𝑥 − 𝑎) cos⁡(𝑥 − 𝑏) )) 𝑑𝑥 =1/sin⁡(𝑎 − 𝑏) [∫1▒(sin⁡(𝑥 − 𝑏)/cos⁡(𝑥 − 𝑏) − sin⁡(𝑥 − 𝑎)/cos⁡(𝑥 − 𝑎) ) 𝑑𝑥] =1/sin⁡(𝑎 − 𝑏) [∫1▒〖tan⁡(𝑥−𝑏)−tan⁡(𝑥−𝑎) 〗 𝑑𝑥] =1/sin⁡(𝑎 − 𝑏) [∫1▒tan⁡(𝑥−𝑏) 𝑑𝑥−∫1▒tan⁡(𝑥−𝑎) 𝑑𝑥] Using 𝑠𝑖𝑛⁡(𝐴−𝐵)=𝑠𝑖𝑛⁡𝐴 𝑐𝑜𝑠⁡𝐵−𝑐𝑜𝑠⁡𝐴 𝑠𝑖𝑛⁡𝐵 Replace A by (𝑥−𝑏) & B by (𝑥−𝑏) 𝑠𝑖𝑛⁡((𝑥−𝑏)−(𝑥−𝑎)) =𝑠𝑖𝑛⁡(𝑥−𝑏) 𝑐𝑜𝑠⁡(𝑥−𝑎)−𝑐𝑜𝑠⁡(𝑥−𝑏) 𝑠𝑖𝑛⁡(𝑥−𝑎) Using ∫1▒tan⁡𝑥 𝑑𝑥=−log⁡|cos⁡𝑥 |+𝐶 =1/sin⁡(𝑎 − 𝑏) [−log⁡|cos⁡(𝑥−𝑏) |+log⁡|cos⁡(𝑥−𝑎) | ]+𝐶 =1/sin⁡(𝑎 − 𝑏) [log⁡|cos⁡(𝑥−𝑎) |−log⁡|cos⁡(𝑥−𝑏) | ]+𝐶 =𝟏/𝒔𝒊𝒏⁡(𝒂 − 𝒃) 𝐥𝐨𝐠⁡|𝒄𝒐𝒔⁡(𝒙 − 𝒂)/𝒄𝒐𝒔⁡(𝒙 − 𝒃) |+𝑪