Slide54.JPG

Slide55.JPG
Slide56.JPG

Subscribe to our Youtube Channel - https://you.tube/teachoo

  1. Chapter 11 Class 12 Three Dimensional Geometry
  2. Serial order wise

Transcript

Ex 11.2, 17 Find the shortest distance between the lines whose vector equations are ๐‘Ÿ โƒ— = (1 โˆ’ t) ๐‘– ฬ‚ + (t โˆ’ 2) ๐‘— ฬ‚ + (3 โˆ’ 2t) ๐‘˜ ฬ‚ and ๐‘Ÿ โƒ— = (s + 1) ๐‘– ฬ‚ + (2s โ€“ 1) ๐‘— ฬ‚ โ€“ (2s + 1) ๐‘˜ ฬ‚ Shortest distance between lines with vector equations ๐‘Ÿ โƒ— = (๐‘Ž1) โƒ— + ๐œ† (๐‘1) โƒ— and ๐‘Ÿ โƒ— = (๐‘Ž2) โƒ— + ๐œ‡(๐‘2) โƒ— is |("(" (๐’ƒ๐Ÿ) โƒ—ร— (๐’ƒ๐Ÿ) โƒ—")" ."(" (๐’‚๐Ÿ) โƒ— โˆ’ (๐’‚๐Ÿ) โƒ—")" )/|(๐’ƒ๐Ÿ) โƒ— ร— (๐’ƒ๐Ÿ) โƒ— | | ๐’“ โƒ— = (๐Ÿ โˆ’ t) ๐’Š ฬ‚ + (๐’•โˆ’๐Ÿ)๐’‹ ฬ‚ + (3 โˆ’ 2t) ๐’Œ ฬ‚ = 1๐‘– ฬ‚ โˆ’ t๐‘– ฬ‚ + t๐‘— ฬ‚ โˆ’ 2๐‘— ฬ‚ + 3๐‘˜ ฬ‚ โˆ’ 2t๐‘˜ ฬ‚ = (1๐‘– ฬ‚ โˆ’ 2๐‘— ฬ‚ + 3๐‘˜ ฬ‚) + t(โˆ’1๐‘– ฬ‚ + 1๐‘— ฬ‚ โˆ’ 2๐‘˜ ฬ‚) Comparing with ๐‘Ÿ โƒ— = (๐‘Ž1) โƒ— + t (๐‘1) โƒ—, (๐‘Ž1) โƒ— = 1๐‘– ฬ‚ โ€“ 2๐‘— ฬ‚ + 3๐‘˜ ฬ‚ & (๐‘1) โƒ— = โˆ’ 1๐‘– ฬ‚ + 1๐‘— ฬ‚ โˆ’ 2๐‘˜ ฬ‚ ๐’“ โƒ— = (๐’” + 1) ๐’Š ฬ‚ + (๐Ÿ๐’”" โˆ’ " ๐Ÿ)๐’‹ ฬ‚ โˆ’ (2s + 1) ๐’Œ ฬ‚ = s๐‘– ฬ‚ + 1๐‘– ฬ‚ + 2s๐‘— ฬ‚ โˆ’ 1๐‘— ฬ‚ โˆ’ 2s๐‘˜ ฬ‚ โˆ’ 1๐‘˜ ฬ‚ = (1๐‘– ฬ‚ โˆ’ 1๐‘— ฬ‚ โˆ’ 1๐‘˜ ฬ‚) + s(1๐‘– ฬ‚ + 2๐‘— ฬ‚ โˆ’ 2๐‘˜ ฬ‚) Comparing with ๐‘Ÿ โƒ— = (๐‘Ž2) โƒ— + s (๐‘2) โƒ—, (๐‘Ž2) โƒ— = 1๐‘– ฬ‚ โˆ’ 1๐‘— ฬ‚ โˆ’ 1๐‘˜ ฬ‚ & (๐‘2) โƒ— = 1๐‘– ฬ‚ + 2๐‘— ฬ‚ โˆ’ 2๐‘˜ ฬ‚ Now, ((๐’‚๐Ÿ) โƒ— โˆ’ (๐’‚_๐Ÿ ) โƒ—) = (1๐‘– ฬ‚ โˆ’ 1๐‘— ฬ‚ โˆ’ 1๐‘˜ ฬ‚) โˆ’ (1๐‘– ฬ‚ โˆ’ 2๐‘— + 3๐‘˜ ฬ‚) = (1 โˆ’ 1) ๐‘– ฬ‚ + ( โˆ’ 1 + 2)๐‘— ฬ‚ + ( โˆ’ 1 โˆ’ 3)๐‘˜ ฬ‚ = 0๐’Š ฬ‚ + 1๐’‹ ฬ‚ โˆ’ 4๐’Œ ฬ‚ ( (๐’ƒ_๐Ÿ ) โƒ—ร— (๐’ƒ_๐Ÿ ) โƒ— ) = |โ– 8(๐‘– ฬ‚&๐‘— ฬ‚&๐‘˜ ฬ‚@ โˆ’1&1& โˆ’2@1&2& โˆ’2)| = ๐‘– ฬ‚[(1ร—โˆ’ 2)โˆ’(2ร—โˆ’ 2)] โˆ’ ๐‘— ฬ‚[(โˆ’1ร—โˆ’2)โˆ’(1ร—โˆ’ 2)] + ๐‘˜ ฬ‚[(โˆ’ 1ร—2)โˆ’(1ร—1)] = ๐‘– ฬ‚[โˆ’2+4] โˆ’ ๐‘— ฬ‚[2+2] A + ๐‘˜ ฬ‚[โˆ’2โˆ’1] = 2๐’Š ฬ‚ โˆ’ 4๐’‹ ฬ‚ โˆ’ 3๐’Œ ฬ‚ Magnitude of ((๐‘1) โƒ—ร—(๐‘2) โƒ—) = โˆš(22+(โˆ’ 4)2+(โˆ’ 3)2) |(๐’ƒ๐Ÿ) โƒ—ร—(๐’ƒ๐Ÿ) โƒ— | = โˆš(4+16+9) = โˆš๐Ÿ๐Ÿ— Also, ((๐’ƒ๐Ÿ) โƒ— ร— (๐’ƒ๐Ÿ) โƒ—) . ((๐’‚๐Ÿ) โƒ— โ€“ (๐’‚๐Ÿ) โƒ—) = (2๐‘– ฬ‚ โˆ’ 4๐‘— ฬ‚ โˆ’ 3๐‘˜ ฬ‚) . (0๐‘– ฬ‚ + 1๐‘— ฬ‚ โˆ’ 4๐‘˜ ฬ‚) = (2 ร— 0) + (โˆ’4 ร— 1) + (โˆ’3 ร— โˆ’4) = โˆ’0 + (โˆ’4) + 12 = 8 So, shortest distance = |(((๐‘_1 ) โƒ— ร— (๐‘_2 ) โƒ— ) . ((๐‘Ž_2 ) โƒ— ร— (๐‘Ž_1 ) โƒ— ).)/((๐‘_1 ) โƒ— ร— (๐‘_2 ) โƒ— )| = |8/โˆš29| = ๐Ÿ–/โˆš๐Ÿ๐Ÿ— Therefore, the shortest distance between the given two lines is 8/โˆš29 .

About the Author

Davneet Singh's photo - Teacher, Computer Engineer, Marketer
Davneet Singh
Davneet Singh is a graduate from Indian Institute of Technology, Kanpur. He has been teaching from the past 9 years. He provides courses for Maths and Science at Teachoo.