Subscribe to our Youtube Channel - https://www.youtube.com/channel/UCZBx269Tl5Os5NHlSbVX4Kg

Slide54.JPG

Slide55.JPG
Slide56.JPG

  1. Chapter 11 Class 12 Three Dimensional Geometry
  2. Serial order wise

Transcript

Ex 11.2, 17 Find the shortest distance between the lines whose vector equations are ๐‘Ÿ โƒ— = (1 โˆ’ t) ๐‘– ฬ‚ + (t โˆ’ 2) ๐‘— ฬ‚ + (3 โˆ’ 2t) ๐‘˜ ฬ‚ and ๐‘Ÿ โƒ— = (s + 1) ๐‘– ฬ‚ + (2s โ€“ 1) ๐‘— ฬ‚ โ€“ (2s + 1) ๐‘˜ ฬ‚ Shortest distance between lines with vector equations ๐‘Ÿ โƒ— = (๐‘Ž1) โƒ— + ๐œ† (๐‘1) โƒ— and ๐‘Ÿ โƒ— = (๐‘Ž2) โƒ— + ๐œ‡(๐‘2) โƒ— is |("(" (๐’ƒ๐Ÿ) โƒ—ร— (๐’ƒ๐Ÿ) โƒ—")" ."(" (๐’‚๐Ÿ) โƒ— โˆ’ (๐’‚๐Ÿ) โƒ—")" )/|(๐’ƒ๐Ÿ) โƒ— ร— (๐’ƒ๐Ÿ) โƒ— | | ๐’“ โƒ— = (๐Ÿ โˆ’ t) ๐’Š ฬ‚ + (๐’•โˆ’๐Ÿ)๐’‹ ฬ‚ + (3 โˆ’ 2t) ๐’Œ ฬ‚ = 1๐‘– ฬ‚ โˆ’ t๐‘– ฬ‚ + t๐‘— ฬ‚ โˆ’ 2๐‘— ฬ‚ + 3๐‘˜ ฬ‚ โˆ’ 2t๐‘˜ ฬ‚ = (1๐‘– ฬ‚ โˆ’ 2๐‘— ฬ‚ + 3๐‘˜ ฬ‚) + t(โˆ’1๐‘– ฬ‚ + 1๐‘— ฬ‚ โˆ’ 2๐‘˜ ฬ‚) Comparing with ๐‘Ÿ โƒ— = (๐‘Ž1) โƒ— + t (๐‘1) โƒ—, (๐‘Ž1) โƒ— = 1๐‘– ฬ‚ โ€“ 2๐‘— ฬ‚ + 3๐‘˜ ฬ‚ & (๐‘1) โƒ— = โˆ’ 1๐‘– ฬ‚ + 1๐‘— ฬ‚ โˆ’ 2๐‘˜ ฬ‚ ๐’“ โƒ— = (๐’” + 1) ๐’Š ฬ‚ + (๐Ÿ๐’”" โˆ’ " ๐Ÿ)๐’‹ ฬ‚ โˆ’ (2s + 1) ๐’Œ ฬ‚ = s๐‘– ฬ‚ + 1๐‘– ฬ‚ + 2s๐‘— ฬ‚ โˆ’ 1๐‘— ฬ‚ โˆ’ 2s๐‘˜ ฬ‚ โˆ’ 1๐‘˜ ฬ‚ = (1๐‘– ฬ‚ โˆ’ 1๐‘— ฬ‚ โˆ’ 1๐‘˜ ฬ‚) + s(1๐‘– ฬ‚ + 2๐‘— ฬ‚ โˆ’ 2๐‘˜ ฬ‚) Comparing with ๐‘Ÿ โƒ— = (๐‘Ž2) โƒ— + s (๐‘2) โƒ—, (๐‘Ž2) โƒ— = 1๐‘– ฬ‚ โˆ’ 1๐‘— ฬ‚ โˆ’ 1๐‘˜ ฬ‚ & (๐‘2) โƒ— = 1๐‘– ฬ‚ + 2๐‘— ฬ‚ โˆ’ 2๐‘˜ ฬ‚ Now, ((๐’‚๐Ÿ) โƒ— โˆ’ (๐’‚_๐Ÿ ) โƒ—) = (1๐‘– ฬ‚ โˆ’ 1๐‘— ฬ‚ โˆ’ 1๐‘˜ ฬ‚) โˆ’ (1๐‘– ฬ‚ โˆ’ 2๐‘— + 3๐‘˜ ฬ‚) = (1 โˆ’ 1) ๐‘– ฬ‚ + ( โˆ’ 1 + 2)๐‘— ฬ‚ + ( โˆ’ 1 โˆ’ 3)๐‘˜ ฬ‚ = 0๐’Š ฬ‚ + 1๐’‹ ฬ‚ โˆ’ 4๐’Œ ฬ‚ ( (๐’ƒ_๐Ÿ ) โƒ—ร— (๐’ƒ_๐Ÿ ) โƒ— ) = |โ– 8(๐‘– ฬ‚&๐‘— ฬ‚&๐‘˜ ฬ‚@ โˆ’1&1& โˆ’2@1&2& โˆ’2)| = ๐‘– ฬ‚[(1ร—โˆ’ 2)โˆ’(2ร—โˆ’ 2)] โˆ’ ๐‘— ฬ‚[(โˆ’1ร—โˆ’2)โˆ’(1ร—โˆ’ 2)] + ๐‘˜ ฬ‚[(โˆ’ 1ร—2)โˆ’(1ร—1)] = ๐‘– ฬ‚[โˆ’2+4] โˆ’ ๐‘— ฬ‚[2+2] A + ๐‘˜ ฬ‚[โˆ’2โˆ’1] = 2๐’Š ฬ‚ โˆ’ 4๐’‹ ฬ‚ โˆ’ 3๐’Œ ฬ‚ Magnitude of ((๐‘1) โƒ—ร—(๐‘2) โƒ—) = โˆš(22+(โˆ’ 4)2+(โˆ’ 3)2) |(๐’ƒ๐Ÿ) โƒ—ร—(๐’ƒ๐Ÿ) โƒ— | = โˆš(4+16+9) = โˆš๐Ÿ๐Ÿ— Also, ((๐’ƒ๐Ÿ) โƒ— ร— (๐’ƒ๐Ÿ) โƒ—) . ((๐’‚๐Ÿ) โƒ— โ€“ (๐’‚๐Ÿ) โƒ—) = (2๐‘– ฬ‚ โˆ’ 4๐‘— ฬ‚ โˆ’ 3๐‘˜ ฬ‚) . (0๐‘– ฬ‚ + 1๐‘— ฬ‚ โˆ’ 4๐‘˜ ฬ‚) = (2 ร— 0) + (โˆ’4 ร— 1) + (โˆ’3 ร— โˆ’4) = โˆ’0 + (โˆ’4) + 12 = 8 So, shortest distance = |(((๐‘_1 ) โƒ— ร— (๐‘_2 ) โƒ— ) . ((๐‘Ž_2 ) โƒ— ร— (๐‘Ž_1 ) โƒ— ).)/((๐‘_1 ) โƒ— ร— (๐‘_2 ) โƒ— )| = |8/โˆš29| = ๐Ÿ–/โˆš๐Ÿ๐Ÿ— Therefore, the shortest distance between the given two lines is 8/โˆš29 .

About the Author

Davneet Singh's photo - Teacher, Computer Engineer, Marketer
Davneet Singh
Davneet Singh is a graduate from Indian Institute of Technology, Kanpur. He has been teaching from the past 9 years. He provides courses for Maths and Science at Teachoo.