Question 37 (Choice 1) - CBSE Class 12 Sample Paper for 2021 Boards
Last updated at Oct. 27, 2020 by Teachoo
Find the shortest distance between the lines r
→
= 3i + 2j - 4k + λ (i + 2j -2k )
And r = 5i + 2j - u (3i + 2j +6k). If the lines intersect find their point of intersection
Note
: This
is similar
to
Ex 11.2, 14 ; Ex 11.2, 16 and
Misc
9
of NCERT –
Chapter 11 Class 12 Three Dimensional Geometry
Check the answer here
Transcript
Question 37 (Choice 1) Find the shortest distance between the lines ๐ โ = 3๐ ฬ + 2๐ ฬ โ 4๐ ฬ + ๐ (๐ ฬ + 2๐ ฬ + 2๐ ฬ) And ๐ โ = 5๐ ฬ โ 2๐ ฬ + ๐(3๐ ฬ + 2๐ ฬ + 6๐ ฬ) If the lines intersect find their point of intersection
Shortest distance between lines with vector equations
๐ โ = (๐1) โ + ๐ (๐1) โ and ๐ โ = (๐2) โ + ๐(๐2) โ is |(((๐๐) โ ร (๐๐) โ ).((๐๐) โ โ (๐๐) โ ))/|(๐๐) โ ร (๐๐) โ | |
๐ โ = (3๐ ฬ + 2๐ ฬ โ 4๐ ฬ) + ๐ (๐ ฬ + 2๐ ฬ + 2๐ ฬ)
Comparing with ๐ โ = (๐1) โ + ๐(๐1) โ ,
(๐1) โ = 3๐ ฬ + 2๐ ฬ โ 4๐ ฬ
& (๐1) โ = 1๐ ฬ + 2๐ ฬ + 2๐ ฬ
๐ โ = (5๐ ฬ โ 2๐ ฬ) + ๐ (3๐ ฬ + 2๐ ฬ + 6๐ ฬ)
Comparing with ๐ โ = (๐2) โ + ๐(๐2) โ ,
(๐2) โ = 5๐ ฬ โ 2๐ ฬ + 0๐ ฬ
& (๐2) โ = 3๐ ฬ + 2๐ ฬ + 6๐ ฬ
Now,
((๐๐) โ โ (๐๐) โ) = (5๐ ฬ โ 2๐ ฬ + 0๐ ฬ) โ (3๐ ฬ + 2๐ ฬ โ 4๐ ฬ)
= (5 โ 3) ๐ ฬ + (โ2 โ 2)๐ ฬ + (0 โ (โ4)) ๐ ฬ
= 2๐ ฬ โ 4๐ ฬ + 4๐ ฬ
((๐๐) โ ร (๐๐) โ) = |โ 8(๐ ฬ&๐ ฬ&๐ ฬ@1& 2&2@3&2&6)|
= ๐ ฬ [(2 ร 6)โ(2 ร 2)] โ ๐ ฬ [(1 ร 6)โ(3 ร 2)] + ๐ ฬ [(1 ร 2)โ(3 ร 2)]
= ๐ ฬ [ 12โ4] โ ๐ ฬ [6โ6] + ๐ ฬ [2โ6]
= ๐ ฬ (8) โ ๐ ฬ (0) + ๐ ฬ(โ4)
= 8๐ ฬ โ 4๐ ฬ
Magnitude of (๐1) โ ร (๐2) โ = โ(8^2+0^2+ใ(โ4)ใ^2 )
|(๐๐) โ ร (๐๐) โ | = โ(64+16) = โ80 = 4โ5
Also,
((๐๐) โร(๐๐) โ ) . ((๐๐) โ โ (๐๐) โ ) = (8๐ ฬ โ 4๐ ฬ). (2๐ ฬ โ 4๐ ฬ + 4๐ ฬ)
= (8 ร 2) + (0 ร โ4) + (โ4 ร 4)
= โ16 + 0 + (โ16)
= 0
Shortest distance = |(((๐1) โ ร (๐2) โ ) . ((๐2) โ โ (๐1) โ ))/|(๐1) โ ร (๐2) โ | |
= |( 0)/(4โ5)|
= 0
Therefore, the shortest distance between the given two lines is 0
Finding Point of Intersection
Since our lines are
๐ โ = 3๐ ฬ + 2๐ ฬ โ 4๐ ฬ + ๐ (๐ ฬ + 2๐ ฬ + 2๐ ฬ) And ๐ โ = 5๐ ฬ โ 2๐ ฬ + ๐(3๐ ฬ + 2๐ ฬ + 6๐ ฬ)
Thus,
3๐ ฬ + 2๐ ฬ โ 4๐ ฬ + ๐ (๐ ฬ + 2๐ ฬ + 2๐ ฬ) = 5๐ ฬ โ 2๐ ฬ + ๐(3๐ ฬ + 2๐ ฬ + 6๐ ฬ)
(3 + ๐)๐ ฬ + (2 + 2๐) ๐ ฬ + (โ4 + 2๐) ๐ ฬ = (5 + 3๐)๐ ฬ + (โ2 + 2๐)๐ ฬ + 6๐๐ ฬ
Thus, 3 + ๐ = 5 + 3๐
2 + 2๐ = โ2 + 2๐
โ4 + 2๐ = 6๐
Solving (1) and (2)
๐ โ 3๐ = 5 โ 3
๐ โ 3๐ = 2
And,
2 + 2๐ = โ2 + 2๐
2๐ โ 2๐ = โ4
๐ โ ๐ = โ2
Solving both equations
๐=โ๐, ๐=โ๐
Putting ๐=โ๐ in ๐ โ
๐ โ = 3๐ ฬ + 2๐ ฬ โ 4๐ ฬ + ๐ (๐ ฬ + 2๐ ฬ + 2๐ ฬ)
๐ โ = 3๐ ฬ + 2๐ ฬ โ 4๐ ฬ โ 4(๐ ฬ + 2๐ ฬ + 2๐ ฬ)
๐ โ = 3๐ ฬ + 2๐ ฬ โ 4๐ ฬ โ 4๐ ฬ โ 8๐ ฬ โ 8๐ ฬ
๐ โ = โ๐ ฬ โ 6๐ ฬ โ 12๐ ฬ
So, Point of intersection is (โ1, โ6, โ12)
Show More