Slide24.JPG

Slide25.JPG
Slide26.JPG

Subscribe to our Youtube Channel - https://you.tube/teachoo

  1. Chapter 11 Class 12 Three Dimensional Geometry
  2. Serial order wise

Transcript

Example 11 Find the shortest distance between the lines l1 and l2 whose vector equations are ๐‘Ÿ โƒ— = ๐‘– ฬ‚ + ๐‘— ฬ‚ + ๐œ†(2๐‘– ฬ‚ โˆ’ ๐‘— ฬ‚ + ๐‘˜ ฬ‚ ) and ๐‘Ÿ โƒ— = 2๐‘– ฬ‚ + ๐‘— ฬ‚ โ€“ ๐‘˜ ฬ‚ + ๐œ‡ (3๐‘– ฬ‚ โ€“ 5๐‘— ฬ‚ + 2๐‘˜ ฬ‚ )Shortest distance between lines with vector equations ๐‘Ÿ โƒ— = (๐‘Ž1) โƒ— + ๐œ† (๐‘1) โƒ— and ๐‘Ÿ โƒ— = (๐‘Ž2) โƒ— + ๐œ‡(๐‘2) โƒ— is |(((๐‘1) โƒ— ร— (๐‘2) โƒ— ).((๐‘Ž2) โƒ— โˆ’ (๐‘Ž1) โƒ— ))/|(๐‘1) โƒ— ร— (๐‘2) โƒ— | | ๐’“ โƒ— = (๐’Š ฬ‚ + ๐’‹ ฬ‚) + ๐œ† (2๐’Š ฬ‚ โˆ’ ๐’‹ ฬ‚ + ๐’Œ ฬ‚) Comparing with ๐‘Ÿ โƒ— = (๐‘Ž1) โƒ— + ๐œ† (๐‘1) โƒ— (๐‘Ž1) โƒ— = 1๐‘– ฬ‚ + 1๐‘— ฬ‚ + 0๐‘˜ ฬ‚ & (๐‘1) โƒ— = 2๐‘– ฬ‚ โ€“ 1๐‘— ฬ‚ + 1๐‘˜ ฬ‚ ๐’“ โƒ— = (2๐’Š ฬ‚ + ๐’‹ ฬ‚ โˆ’ ๐’Œ ฬ‚) + ๐ (3๐’Š ฬ‚ โˆ’ 5๐’‹ ฬ‚ + 2๐’Œ ฬ‚) Comparing with ๐‘Ÿ โƒ— = (๐‘Ž2) โƒ— + ๐œ‡(๐‘2) โƒ— (๐‘Ž2) โƒ— = 2๐‘– ฬ‚ + 1๐‘— ฬ‚ โˆ’ 1๐‘˜ ฬ‚ & (๐‘2) โƒ— = 3๐‘– ฬ‚ โˆ’ 5๐‘— ฬ‚ + 2๐‘˜ ฬ‚ Now (๐’‚๐Ÿ) โƒ— โˆ’ (๐’‚๐Ÿ) โƒ— = (2๐‘– ฬ‚ + 1๐‘— ฬ‚ โˆ’ 1๐‘˜ ฬ‚) โˆ’ (1๐‘– ฬ‚ + 1๐‘— ฬ‚ + 0๐‘˜ ฬ‚) = (2 โˆ’ 1) ๐‘– ฬ‚ + (1 โˆ’ 1)๐‘— ฬ‚ + (โˆ’1 โˆ’ 0) ๐‘˜ ฬ‚ = 1๐’Š ฬ‚ + 0๐’‹ ฬ‚ โˆ’ 1๐’Œ ฬ‚ (๐’ƒ๐Ÿ) โƒ— ร— (๐’ƒ๐Ÿ) โƒ— = |โ– 8(๐‘– ฬ‚&๐‘— ฬ‚&๐‘˜ ฬ‚@2& โˆ’1&1@3& โˆ’5&2)| = ๐‘– ฬ‚ [(โˆ’1ร—2)โˆ’(โˆ’5ร—1)] โˆ’ ๐‘— ฬ‚ [(2ร—2)โˆ’(3ร—1)] + ๐‘˜ ฬ‚[(2ร—โˆ’5)โˆ’(3ร—โˆ’1)] = ๐‘– ฬ‚ [โˆ’2+5] โˆ’ ๐‘— ฬ‚ [4โˆ’3] + ๐‘˜ ฬ‚ [โˆ’10+3] = ๐‘– ฬ‚ (3) โˆ’ ๐‘— ฬ‚ (1) + ๐‘˜ ฬ‚(โˆ’7) = 3๐’Š ฬ‚ โˆ’ ๐’‹ ฬ‚ โˆ’ 7๐’Œ ฬ‚ Magnitude of ((๐‘1) โƒ— ร— (๐‘2) โƒ—) = โˆš(32+(โˆ’1)2+(โˆ’7)^2 ) |(๐’ƒ๐Ÿ) โƒ—ร— (๐’ƒ๐Ÿ) โƒ— | = โˆš(9+1+49) = โˆš๐Ÿ“๐Ÿ— Also, ((๐’ƒ๐Ÿ) โƒ— ร— (๐’ƒ๐Ÿ) โƒ—) .((๐’‚๐Ÿ) โƒ— โˆ’ (๐’‚๐Ÿ) โƒ—) = (3๐‘– ฬ‚ โˆ’ ๐‘— ฬ‚ โˆ’ 7๐‘˜ ฬ‚) . (1๐‘– ฬ‚ + 0๐‘— ฬ‚ โˆ’ 1๐‘˜ ฬ‚) = (3 ร— 1) + (โˆ’1 ร— 0) + (โˆ’7 ร— โˆ’1) = 3 + 0 + 7 = 10 โˆด Shortest distance = |(((๐‘1) โƒ— ร— (๐‘2) โƒ— ).((๐‘Ž2) โƒ— โˆ’ (๐‘Ž1) โƒ— ))/|(๐‘1) โƒ— ร— (๐‘2) โƒ— | | = |10/โˆš59| = ๐Ÿ๐ŸŽ/โˆš๐Ÿ“๐Ÿ— .

About the Author

Davneet Singh's photo - Teacher, Computer Engineer, Marketer
Davneet Singh
Davneet Singh is a graduate from Indian Institute of Technology, Kanpur. He has been teaching from the past 9 years. He provides courses for Maths and Science at Teachoo.