Check Full Chapter Explained - Continuity and Differentiability - Continuity and Differentiability Class 12

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  1. Chapter 5 Class 12 Continuity and Differentiability
  2. Serial order wise

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Ex 5.6, 11 If ๐‘ฅ=โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘ ๐‘–๐‘›ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) ) , y=โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘๐‘œ๐‘ ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) ), show that ๐‘‘๐‘ฆ/๐‘‘๐‘ฅ = โˆ’ ๐‘ฆ/๐‘ฅ ๐‘ฅ=โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘ ๐‘–๐‘›ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) ) , y=โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘๐‘œ๐‘ ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) ) Finding ๐’…๐’š/๐’…๐’™ ๐‘‘๐‘ฆ/๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘‘๐‘ฆ/๐‘‘๐‘ฅ ร— ๐‘‘๐‘ก/๐‘‘๐‘ก ๐‘‘๐‘ฆ/๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘‘๐‘ฆ/๐‘‘๐‘ก ร— ๐‘‘๐‘ก/๐‘‘๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฆ/๐‘‘๐‘ฅ = (๐‘‘๐‘ฆ/๐‘‘๐‘ก)/(๐‘‘๐‘ฅ/๐‘‘๐‘ก) Calculating ๐’…๐’š/๐’…๐’• ๐‘ฆ = โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘๐‘œ๐‘ ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) ) ๐‘‘๐‘ฆ/๐‘‘๐‘ก " "= ๐‘‘(โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘๐‘œ๐‘ ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) ))/๐‘‘๐‘ก ๐‘‘๐‘ฆ/๐‘‘๐‘ก " "= 1/(2โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘๐‘œ๐‘ ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) )) . ๐‘‘(๐‘Ž^(ใ€–๐‘๐‘œ๐‘ ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) )/๐‘‘๐‘ก ๐‘‘๐‘ฆ/๐‘‘๐‘ก " "= 1/(2โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘๐‘œ๐‘ ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) )) . ๐‘Ž^(ใ€–๐‘๐‘œ๐‘ ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก). logโก๐‘Ž ร— ๐‘‘(ใ€–๐‘๐‘œ๐‘ ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก)/๐‘‘๐‘ก ๐‘‘๐‘ฆ/๐‘‘๐‘ก " "= 1/(2โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘๐‘œ๐‘ ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) )) . ๐‘Ž^(ใ€–๐‘๐‘œ๐‘ ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก). logโก๐‘Ž ร— (โˆ’1)/โˆš(1 โˆ’ ๐‘ก^2 ) Calculating ๐’…๐’š/๐’…๐’• ๐‘ฆ = โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘๐‘œ๐‘ ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) ) ๐‘‘๐‘ฆ/๐‘‘๐‘ก " "= ๐‘‘(โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘๐‘œ๐‘ ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) ))/๐‘‘๐‘ก ๐‘‘๐‘ฆ/๐‘‘๐‘ก " "= 1/(2โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘๐‘œ๐‘ ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) )) . ๐‘‘(๐‘Ž^(ใ€–๐‘๐‘œ๐‘ ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) )/๐‘‘๐‘ก ๐‘‘๐‘ฆ/๐‘‘๐‘ก " "= 1/(2โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘๐‘œ๐‘ ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) )) . ๐‘Ž^(ใ€–๐‘๐‘œ๐‘ ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก). logโก๐‘Ž ร— ๐‘‘(ใ€–๐‘๐‘œ๐‘ ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก)/๐‘‘๐‘ก ๐‘‘๐‘ฆ/๐‘‘๐‘ก " "= 1/(2โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘๐‘œ๐‘ ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) )) . ๐‘Ž^(ใ€–๐‘๐‘œ๐‘ ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก). logโก๐‘Ž ร— (โˆ’1)/โˆš(1 โˆ’ ๐‘ก^2 ) ๐‘‘๐‘ฆ/๐‘‘๐‘ก " "= (โˆ’ ๐‘Ž^(ใ€–๐‘๐‘œ๐‘ ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) ". " logโก๐‘Ž" " )/(2โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘๐‘œ๐‘ ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) ) . โˆš(1 โˆ’ ๐‘ก^2 )) Calculating ๐’…๐’™/๐’…๐’• ๐‘ฅ=โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘ ๐‘–๐‘›ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) ) ๐‘‘๐‘ฅ/๐‘‘๐‘ก = ๐‘‘(โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘ ๐‘–๐‘›ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) ))/๐‘‘๐‘ก ๐‘‘๐‘ฅ/๐‘‘๐‘ก = 1/(2โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘ ๐‘–๐‘›ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) )) ร— ๐‘‘(๐‘Ž^(ใ€–๐‘ ๐‘–๐‘›ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) )/๐‘‘๐‘ก ๐‘‘๐‘ฅ/๐‘‘๐‘ก = 1/(2โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘ ๐‘–๐‘›ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) )) ร— ๐‘Ž^(ใ€–๐‘ ๐‘–๐‘›ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก). logโก๐‘Ž . ๐‘‘(ใ€–๐‘ ๐‘–๐‘›ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก)/๐‘‘๐‘ก ๐‘‘๐‘ฅ/๐‘‘๐‘ก = 1/(2โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘ ๐‘–๐‘›ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) )) ร— ๐‘Ž^(ใ€–๐‘ ๐‘–๐‘›ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก). logโก๐‘Ž . 1/โˆš(1 โˆ’ ๐‘ก^2 ) ๐‘‘๐‘ฅ/๐‘‘๐‘ก = " " ๐‘Ž^(ใ€–๐‘ ๐‘–๐‘›ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก)/(2โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘ ๐‘–๐‘›ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) )) ร— logโก๐‘Ž/โˆš(1 โˆ’ ๐‘ก^2 ) ๐‘‘๐‘ฅ/๐‘‘๐‘ก = " " (โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘ ๐‘–๐‘›ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) ) . logโก๐‘Ž)/(2โˆš(1 โˆ’ ๐‘ก^2 )) Therefore, ๐‘‘๐‘ฆ/๐‘‘๐‘ฅ = (๐‘‘๐‘ฆ/๐‘‘๐‘ก)/(๐‘‘๐‘ฅ/๐‘‘๐‘ก) ๐‘‘๐‘ฆ/๐‘‘๐‘ฅ = ((โˆ’ โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘๐‘œ๐‘ ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) ) . logโก๐‘Ž" " )/(2โˆš(1 โˆ’ ๐‘ก^2 )))/((โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘ ๐‘–๐‘›ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) ) . logโก๐‘Ž)/(2โˆš(1 โˆ’ ๐‘ก^2 ))) ๐‘‘๐‘ฆ/๐‘‘๐‘ฅ = (โˆ’ โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘๐‘œ๐‘ ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) ) . โˆ’ logโก๐‘Ž" " )/(2โˆš(1 โˆ’ ๐‘ก^2 )) ร— (2โˆš(1 โˆ’ ๐‘ก^2 ))/(โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘ ๐‘–๐‘›ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) ) . logโก๐‘Ž ) ๐‘‘๐‘ฆ/๐‘‘๐‘ฅ = (โˆ’โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘๐‘œ๐‘ ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) )โก)/โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘ ๐‘–๐‘›ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) ) ร— (logโก๐‘Ž ร— 2โˆš(1 โˆ’ ๐‘ก^2 ))/(logโก๐‘Ž ร— 2โˆš(1 โˆ’ ๐‘ก^2 )) ๐‘‘๐‘ฆ/๐‘‘๐‘ฅ = (โˆ’โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘๐‘œ๐‘ ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) )โก)/โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘ ๐‘–๐‘›ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) ) ๐’…๐’š/๐’…๐’™ = (โˆ’๐’šโก)/๐’™ Hence proved. (โ–ˆ(๐ด๐‘ , โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘๐‘œ๐‘ ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) )=๐‘ฆ@โˆš(๐‘Ž^(ใ€–๐‘ ๐‘–๐‘›ใ€—^(โˆ’1) ๐‘ก) )=๐‘ฅ))

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Davneet Singh
Davneet Singh is a graduate from Indian Institute of Technology, Kanpur. He has been teaching from the past 9 years. He provides courses for Maths and Science at Teachoo.