Check Full Chapter Explained - Continuity and Differentiability - Continuity and Differentiability Class 12




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Ex 5.6, 11 If ๐ฅ=โ(๐^(ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) ๐ก) ) , y=โ(๐^(ใ๐๐๐ ใ^(โ1) ๐ก) ), show that ๐๐ฆ/๐๐ฅ = โ ๐ฆ/๐ฅ ๐ฅ=โ(๐^(ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) ๐ก) ) , y=โ(๐^(ใ๐๐๐ ใ^(โ1) ๐ก) ) Finding ๐ ๐/๐ ๐ ๐๐ฆ/๐๐ฅ = ๐๐ฆ/๐๐ฅ ร ๐๐ก/๐๐ก ๐๐ฆ/๐๐ฅ = ๐๐ฆ/๐๐ก ร ๐๐ก/๐๐ฅ ๐๐ฆ/๐๐ฅ = (๐๐ฆ/๐๐ก)/(๐๐ฅ/๐๐ก) Calculating ๐ ๐/๐ ๐ ๐ฆ = โ(๐^(ใ๐๐๐ ใ^(โ1) ๐ก) ) ๐๐ฆ/๐๐ก " "= ๐(โ(๐^(ใ๐๐๐ ใ^(โ1) ๐ก) ))/๐๐ก ๐๐ฆ/๐๐ก " "= 1/(2โ(๐^(ใ๐๐๐ ใ^(โ1) ๐ก) )) . ๐(๐^(ใ๐๐๐ ใ^(โ1) ๐ก) )/๐๐ก ๐๐ฆ/๐๐ก " "= 1/(2โ(๐^(ใ๐๐๐ ใ^(โ1) ๐ก) )) . ๐^(ใ๐๐๐ ใ^(โ1) ๐ก). logโก๐ ร ๐(ใ๐๐๐ ใ^(โ1) ๐ก)/๐๐ก ๐๐ฆ/๐๐ก " "= 1/(2โ(๐^(ใ๐๐๐ ใ^(โ1) ๐ก) )) . ๐^(ใ๐๐๐ ใ^(โ1) ๐ก). logโก๐ ร (โ1)/โ(1 โ ๐ก^2 ) Calculating ๐ ๐/๐ ๐ ๐ฆ = โ(๐^(ใ๐๐๐ ใ^(โ1) ๐ก) ) ๐๐ฆ/๐๐ก " "= ๐(โ(๐^(ใ๐๐๐ ใ^(โ1) ๐ก) ))/๐๐ก ๐๐ฆ/๐๐ก " "= 1/(2โ(๐^(ใ๐๐๐ ใ^(โ1) ๐ก) )) . ๐(๐^(ใ๐๐๐ ใ^(โ1) ๐ก) )/๐๐ก ๐๐ฆ/๐๐ก " "= 1/(2โ(๐^(ใ๐๐๐ ใ^(โ1) ๐ก) )) . ๐^(ใ๐๐๐ ใ^(โ1) ๐ก). logโก๐ ร ๐(ใ๐๐๐ ใ^(โ1) ๐ก)/๐๐ก ๐๐ฆ/๐๐ก " "= 1/(2โ(๐^(ใ๐๐๐ ใ^(โ1) ๐ก) )) . ๐^(ใ๐๐๐ ใ^(โ1) ๐ก). logโก๐ ร (โ1)/โ(1 โ ๐ก^2 ) ๐๐ฆ/๐๐ก " "= (โ ๐^(ใ๐๐๐ ใ^(โ1) ๐ก) ". " logโก๐" " )/(2โ(๐^(ใ๐๐๐ ใ^(โ1) ๐ก) ) . โ(1 โ ๐ก^2 )) Calculating ๐ ๐/๐ ๐ ๐ฅ=โ(๐^(ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) ๐ก) ) ๐๐ฅ/๐๐ก = ๐(โ(๐^(ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) ๐ก) ))/๐๐ก ๐๐ฅ/๐๐ก = 1/(2โ(๐^(ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) ๐ก) )) ร ๐(๐^(ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) ๐ก) )/๐๐ก ๐๐ฅ/๐๐ก = 1/(2โ(๐^(ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) ๐ก) )) ร ๐^(ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) ๐ก). logโก๐ . ๐(ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) ๐ก)/๐๐ก ๐๐ฅ/๐๐ก = 1/(2โ(๐^(ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) ๐ก) )) ร ๐^(ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) ๐ก). logโก๐ . 1/โ(1 โ ๐ก^2 ) ๐๐ฅ/๐๐ก = " " ๐^(ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) ๐ก)/(2โ(๐^(ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) ๐ก) )) ร logโก๐/โ(1 โ ๐ก^2 ) ๐๐ฅ/๐๐ก = " " (โ(๐^(ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) ๐ก) ) . logโก๐)/(2โ(1 โ ๐ก^2 )) Therefore, ๐๐ฆ/๐๐ฅ = (๐๐ฆ/๐๐ก)/(๐๐ฅ/๐๐ก) ๐๐ฆ/๐๐ฅ = ((โ โ(๐^(ใ๐๐๐ ใ^(โ1) ๐ก) ) . logโก๐" " )/(2โ(1 โ ๐ก^2 )))/((โ(๐^(ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) ๐ก) ) . logโก๐)/(2โ(1 โ ๐ก^2 ))) ๐๐ฆ/๐๐ฅ = (โ โ(๐^(ใ๐๐๐ ใ^(โ1) ๐ก) ) . โ logโก๐" " )/(2โ(1 โ ๐ก^2 )) ร (2โ(1 โ ๐ก^2 ))/(โ(๐^(ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) ๐ก) ) . logโก๐ ) ๐๐ฆ/๐๐ฅ = (โโ(๐^(ใ๐๐๐ ใ^(โ1) ๐ก) )โก)/โ(๐^(ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) ๐ก) ) ร (logโก๐ ร 2โ(1 โ ๐ก^2 ))/(logโก๐ ร 2โ(1 โ ๐ก^2 )) ๐๐ฆ/๐๐ฅ = (โโ(๐^(ใ๐๐๐ ใ^(โ1) ๐ก) )โก)/โ(๐^(ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) ๐ก) ) ๐ ๐/๐ ๐ = (โ๐โก)/๐ Hence proved. (โ(๐ด๐ , โ(๐^(ใ๐๐๐ ใ^(โ1) ๐ก) )=๐ฆ@โ(๐^(ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) ๐ก) )=๐ฅ))
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