If a, b, c are three vectors such that a + b + c = 0 ,  then prove that a × b = b × c = c × a, and hence show that [a b c] = 0.

This is a question of CBSE Sample Paper - Class 12 - 2017/18.

You can download the question paper here  https://www.teachoo.com/cbse/sample-papers/


Slide89.JPG

Slide90.JPG
Slide91.JPG Slide92.JPG

  1. Class 12
  2. Sample Papers, Previous Year Papers and Other Questions
Ask Download

Transcript

Question 20 If ๐‘Ž โƒ—, ๐‘ โƒ—, ๐‘ โƒ— are three vectors such that ๐‘Ž โƒ— + ๐‘ โƒ— + ๐‘ โƒ— = 0 โƒ— , then prove that ๐‘Ž โƒ— ร— ๐‘ โƒ— = ๐‘ โƒ— ร— ๐‘ โƒ— = ๐‘ โƒ— ร— ๐‘Ž โƒ—, and hence show that [๐‘Ž โƒ—" " ๐‘ โƒ—" " ๐‘ โƒ— ] = 0. Theory Here [๐‘Ž โƒ—" " ๐‘ โƒ—" " ๐‘ โƒ— ] = ๐‘Ž โƒ—.(๐‘ โƒ— ร— ๐‘ โƒ— ) Given ๐‘Ž โƒ— + ๐‘ โƒ— + ๐‘ โƒ— = 0 โƒ— ๐‘Ž โƒ—ร—(๐‘Ž โƒ—+๐‘ โƒ—+๐‘ โƒ— )= ๐‘Ž โƒ—ร—0 โƒ— ๐‘Ž โƒ—ร—๐‘Ž โƒ—+๐‘Ž โƒ—ร—๐‘ โƒ—+๐‘Ž โƒ—ร—๐‘ โƒ—= 0 โƒ— Since ๐‘Ž โƒ—ร—๐‘Ž โƒ—=0 " " 0+๐‘Ž โƒ—ร—๐‘ โƒ—+๐‘Ž โƒ—ร—๐‘ โƒ—=" " 0 โƒ— ๐‘Ž โƒ—ร—๐‘ โƒ—+๐‘Ž โƒ—ร—๐‘ โƒ—=" " 0 โƒ— ๐‘Ž โƒ—ร—๐‘ โƒ—=โˆ’๐‘Ž โƒ—ร—๐‘ โƒ— Since โˆ’๐‘Ž โƒ—ร—๐‘ โƒ— = ๐‘ โƒ—ร—๐‘Ž โƒ— ๐’‚ โƒ—ร—๐’ƒ โƒ—=๐’„ โƒ—ร—๐’‚ โƒ— Similarly, ๐‘Ž โƒ— + ๐‘ โƒ— + ๐‘ โƒ— = 0 โƒ— ๐‘ โƒ—ร—(๐‘Ž โƒ—+๐‘ โƒ—+๐‘ โƒ— )= ๐‘ โƒ—ร—0 โƒ— ๐‘ โƒ—ร—๐‘Ž โƒ—+๐‘ โƒ—ร—๐‘ โƒ—+๐‘ โƒ—ร—๐‘ โƒ—= 0 โƒ— Since ๐‘ โƒ—ร—๐‘ โƒ—=0 ๐‘ โƒ—ร—๐‘Ž โƒ—+0+๐‘ โƒ—ร—๐‘ โƒ—= 0 โƒ— ๐‘ โƒ—ร—๐‘Ž โƒ—+๐‘ โƒ—ร—๐‘ โƒ—=" " 0 โƒ— ๐‘ โƒ—ร—๐‘ โƒ—=โˆ’๐‘ โƒ—ร—๐‘Ž โƒ— ๐‘ โƒ—ร—๐‘ โƒ—=โˆ’๐‘ โƒ—ร—๐‘Ž โƒ— Since โˆ’๐‘ โƒ—ร—๐‘Ž โƒ— = ๐‘Ž โƒ—ร—๐‘ โƒ— ๐‘ โƒ—ร—๐‘ โƒ—=๐‘Ž โƒ—ร—๐‘ โƒ— Thus, ๐’‚ โƒ—ร—๐’ƒ โƒ—=๐’„ โƒ—ร—๐’‚ โƒ— & ๐‘ โƒ—ร—๐‘ โƒ—=๐‘Ž โƒ—ร—๐‘ โƒ— โˆด ๐’‚ โƒ—ร—๐’ƒ โƒ—=๐’ƒ โƒ—ร—๐’„ โƒ—=๐’„ โƒ—ร—๐’‚ โƒ— Now, we need to show that show that [๐‘Ž โƒ—" " ๐‘ โƒ—" " ๐‘ โƒ— ] = 0 [๐‘Ž โƒ— ๐‘ โƒ— ๐‘ โƒ— ]=๐‘Ž โƒ— . (๐‘ โƒ—ร—๐‘ โƒ— ) From (1): ๐‘ โƒ—ร—๐‘ โƒ— = ๐‘Ž โƒ—ร—๐‘ โƒ— =๐‘Ž โƒ— . (๐‘Ž โƒ—ร—๐‘ โƒ— ) Now, ๐‘Ž โƒ—ร—๐‘ โƒ— will be a vector perpendicular to ๐‘Ž โƒ— And dot product of ๐‘Ž โƒ— with a vector perpendicular to ๐‘Ž โƒ— will be 0 as angle is 90ยฐ and cos 90ยฐ = 0 โˆด [๐‘Ž โƒ— ๐‘ โƒ— ๐‘ โƒ— ]=๐‘Ž โƒ— . (๐‘Ž โƒ—ร—๐‘ โƒ— ) = 0 Hence proved

About the Author

Davneet Singh's photo - Teacher, Computer Engineer, Marketer
Davneet Singh
Davneet Singh is a graduate from Indian Institute of Technology, Kanpur. He has been teaching from the past 8 years. He provides courses for Maths and Science at Teachoo. You can check his NCERT Solutions from Class 6 to 12.