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Ex 10.5, 7 (Supplementary NCERT) - Show that a, b, c are coplanar if

Ex 10.5 , 7 (Supplementary NCERT) - Chapter 10 Class 12 Vector Algebra - Part 2
Ex 10.5 , 7 (Supplementary NCERT) - Chapter 10 Class 12 Vector Algebra - Part 3


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Ex 10.5, 7 (Supplementary NCERT) Show that vectors π‘Ž βƒ—, 𝑏 βƒ— and 𝑐 βƒ— are coplanar if π‘Ž βƒ— + 𝑏 βƒ—, 𝑏 βƒ— + 𝑐 and 𝑐 βƒ— + π‘Ž βƒ— are coplanarGiven π‘Ž βƒ— + 𝑏 βƒ—, 𝑏 βƒ— + 𝑐 and 𝑐 βƒ— + π‘Ž βƒ— are coplanar [β– 8(𝒂 βƒ—" + " 𝒃 βƒ—&𝒃 βƒ—+𝒄 βƒ—&𝒄 βƒ—+𝒂 βƒ— )] = 0 We need to prove π‘Ž βƒ—, 𝑏 βƒ— and 𝑐 βƒ— are coplanar i.e. [β– 8(𝒂 βƒ—&𝒃 βƒ—&𝒄 βƒ— )] = 0 Now, [β– 8(π‘Ž βƒ—" + " 𝑏 βƒ—&𝑏 βƒ—+𝑐 βƒ—&𝑐 βƒ—+π‘Ž βƒ— )] = 0 (𝒂 βƒ—" + " 𝒃 βƒ—). ["(" 𝒃 βƒ—+𝒄 βƒ—") " Γ— " (" 𝒄 βƒ—+𝒂 βƒ—)] = 0 (π‘Ž βƒ—" + " 𝑏 βƒ—). ["(" 𝑏 βƒ— Γ— 𝑐 βƒ—") + (" 𝑏 βƒ— Γ— π‘Ž βƒ—)+"(" 𝒄 βƒ— Γ— 𝒄 βƒ—") + (" 𝑐 βƒ— Γ— π‘Ž βƒ—)] = 0 "(" π‘Ž βƒ—+𝑏 βƒ—")." [(𝑏 βƒ— Γ— 𝑐 βƒ—") + (" 𝑏 βƒ— Γ— π‘Ž βƒ— ) "+ 0 + (" 𝑐 βƒ—" Γ— " π‘Ž βƒ—") " ] = 0 π‘Ž βƒ—. (𝑏 βƒ— Γ— 𝑐 βƒ—) + 𝑏 βƒ—.(𝑏 βƒ— Γ— 𝑐 βƒ—) + π‘Ž βƒ—. (𝑏 βƒ— Γ— π‘Ž βƒ—) + 𝑏 βƒ—.(𝑏 βƒ— Γ— π‘Ž βƒ—) + π‘Ž βƒ—.(𝑐 βƒ— Γ— π‘Ž βƒ—) + 𝑏 βƒ—.(𝑐 βƒ— Γ— π‘Ž βƒ—) = 0 [π‘Ž βƒ—", " 𝑏 βƒ—", " 𝑐 βƒ— ] + [𝒃 βƒ—", " 𝒃 βƒ—", " 𝒄 βƒ— ] + [𝒂 βƒ—", " 𝒃 βƒ—", " 𝒂 βƒ— ] + [𝒃 βƒ—", " 𝒃 βƒ—", " 𝒂 βƒ— ] + [𝒂 βƒ—", " 𝒄 βƒ—", " 𝒂 βƒ— ] + [𝑏 βƒ—", " 𝑐 βƒ—", " π‘Ž βƒ— ] = 0 [𝒃 βƒ—", " 𝒃 βƒ—", " 𝒄 βƒ— ] = [𝑐 βƒ—", " 𝑏 βƒ—", " 𝑏 βƒ— ] = 𝑐 βƒ—. (𝑏 βƒ— Γ— 𝑏 βƒ—) As (𝑏 βƒ— Γ— 𝑏 βƒ—) = 0 βƒ— = 𝑐 βƒ— . 0 βƒ— = 0 Using Prop: [𝒃 βƒ—", " 𝒃 βƒ—", " 𝒄 βƒ— ] = 𝟎 [𝒂 βƒ—", " 𝒃 βƒ—", " 𝒂 βƒ— ] = 𝟎 [𝒃 βƒ—", " 𝒃 βƒ—", " 𝒂 βƒ— ] = 𝟎 [𝒂 βƒ—", " 𝒄 βƒ—", " 𝒂 βƒ— ] = 𝟎 [π‘Ž βƒ—", " 𝑏 βƒ—", " 𝑐 βƒ— ] + 0 + 0 + 0 + 0 + [𝑏 βƒ—", " 𝑐 βƒ—", " π‘Ž βƒ— ] = 0 [π‘Ž βƒ—", " 𝑏 βƒ—", " 𝑐 βƒ— ] + [𝒃 βƒ—", " 𝒄 βƒ—", " 𝒂 βƒ— ] = 0 [π‘Ž βƒ—", " 𝑏 βƒ—", " 𝑐 βƒ— ] + [𝒂 βƒ—", " 𝒃 βƒ—", " 𝒄 βƒ— ] = 0 2[π‘Ž βƒ—", " 𝑏 βƒ—", " 𝑐 βƒ— ] = 0 [π‘Ž βƒ—", " 𝑏 βƒ—", " 𝑐 βƒ— ] = 0 Since [π‘Ž βƒ—", " 𝑏 βƒ—", " 𝑐 βƒ— ] = 0, π‘Ž βƒ—, 𝑏 βƒ— and 𝑐 βƒ— are coplanar As [π‘Ž βƒ—", " 𝑏 βƒ—", " 𝑐 βƒ— ] = [𝑐 βƒ—", " π‘Ž βƒ—", " 𝑏 βƒ— ]= [𝑏 βƒ—", " 𝑐 βƒ—", " π‘Ž βƒ— ]

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Davneet Singh

Davneet Singh is a graduate from Indian Institute of Technology, Kanpur. He has been teaching from the past 12 years. He provides courses for Maths and Science at Teachoo.