1. Chapter 9 Class 12 Differential Equations
2. Serial order wise
3. Ex 9.5

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Ex 9.5, 6 show that the given differential equation is homogeneous and solve each of them. ð¥ ðð¦âð¦ ðð¥= ï·® ð¥ï·®2ï·¯+ ð¦ï·®2ï·¯ï·¯ ðð¥ Step 1: Find ðð¦ï·®ðð¥ï·¯ x dy â y dx = ï·® ð¥ï·®2ï·¯+ ð¦ï·®2ï·¯ï·¯ dx x dy = ï·® ð¥ï·®2ï·¯+ ð¦ï·®2ï·¯ï·¯ dx + ydx x dy = ï·® ð¥ï·®2ï·¯+ ð¦ï·®2ï·¯ï·¯+ð¦ï·¯ dx ðð¦ï·®ðð¥ï·¯ = ï·® ð¥ï·®2ï·¯ + ð¦ï·®2ï·¯ï·¯ + ð¦ï·®ð¥ï·¯ Step 2: Put ðð¦ï·®ðð¥ï·¯ = F(x, y) and find F(ðx, ðy) â´ F(x, y) = ðð¦ï·®ðð¥ï·¯ = ï·® ð¥ï·®2 ï·¯+ ð¦ï·®2ï·¯ï·¯+ ð¦ï·®ð¥ï·¯ F(ð x, ðy) = ï·® (ðð¥)ï·®2ï·¯ + ðï·®2ï·¯ ð¦ï·®2ï·¯ï·¯ï·¯+ ðð¦ï·®ðð¥ï·¯ = ï·® ðï·®2ï·¯ ð¥ï·®2ï·¯ + ðï·®2ï·¯ ð¦ï·®2ï·¯ï·¯ + ðð¦ï·®ðð¥ï·¯ = ï·® ðï·®2ï·¯( ð¥ï·®2ï·¯ + ð¦ï·®2ï·¯)ï·¯ + ðð¦ï·®ðð¥ï·¯= ð ï·® ð¥ï·®2ï·¯ + ð¦ï·®2ï·¯ï·¯ + ðð¦ï·®ðð¥ï·¯ = ï·® ð¥ï·®2ï·¯ + ð¦ï·®2ï·¯ï·¯ + ðð¦ï·®ð¥ï·¯ = F(x, y) Hence, F(ðx, ðy) = F(x, y) = ðÂ° F(x, y) Hence, F(x, y) is a homogenous Function of with degree zero So, ðð¦ï·®ðð¥ï·¯ is a homogenous differential equation. Step 3. Solving ðð¦ï·®ðð¥ï·¯ by putting y = vx Putting y = vx. Differentiating w.r.t.x ðð¦ï·®ðð¥ï·¯ = x ðð£ï·®ðð¥ï·¯+ ð£ðð¥ï·®ðð¥ï·¯ ðð¦ï·®ðð¥ï·¯ = ð¥ ðð£ï·®ðð¥ï·¯ + v Putting value of ðð¦ï·®ðð¥ï·¯ and y = vx in (1) ðð¦ï·®ðð¥ï·¯ = 1 â 2 ð¦ï·®2ï·¯ï·® ð¥ï·®2ï·¯ï·¯ + ð¦ï·®ð¥ï·¯ ð¥ ðð£ï·®ðð¥ï·¯ + v =1 â2 (ð£ð¥)ï·®2ï·¯ï·® ð¥ï·®2ï·¯ï·¯ + ð£ð¥ï·®ð¥ï·¯ x ðð£ï·®ðð¥ï·¯ + v =1 â 2 ð£ï·®2ï·¯ ð¥ï·®2ï·¯ï·® ð¥ï·®2ï·¯ï·¯ + ð£ x ðð£ï·®ðð¥ï·¯ = 1 â 2v2 + v â v x ðð£ï·®ðð¥ï·¯ = 1 â 2v2 Putting value of ðð¦ï·®ðð¥ï·¯ and y = vx in ðð¦ï·®ðð¥ï·¯= ï·® ð¥ï·®2ï·¯ + ð¦ï·®2ï·¯ ï·¯+ð¦ï·®ð¥ï·¯ x ðð£ï·®ðð¥ï·¯+ð£= ï·® ð¥ï·®2ï·¯ + ð£ð¥ï·¯ï·®2ï·¯ï·¯ + (ð£ð¥)ï·®ð¥ï·¯ x ðð£ï·®ðð¥ï·¯+ð£= ï·® ð¥ï·®2ï·¯ + ð¥ï·®2ï·¯ ð£ï·®2ï·¯ï·¯ + ð£ð¥ï·®ð¥ï·¯ x ðð£ï·®ðð¥ï·¯+ð£ = ï·® ð¥ï·®2ï·¯(1+ ð£ï·®2ï·¯)ï·¯ + ð£ð¥ï·®ð¥ï·¯ x ðð£ï·®ðð¥ï·¯+ð£ = ð¥ ï·®1+ ð£ï·®2ï·¯ï·¯ + ð£ð¥ï·®ð¥ï·¯ x ðð£ï·®ðð¥ï·¯+ð£ = ð¥( ï·®1+ ð£ï·®2ï·¯ï·¯ + ð£)ï·®ð¥ï·¯ x ðð£ï·®ðð¥ï·¯+ð£= ï·®1+ ð£ï·®2ï·¯ï·¯+ð£ x ðð£ï·®ðð¥ï·¯= ï·®1+ ð£ï·®2ï·¯ï·¯+ð£ â ð£ x ðð£ï·®ðð¥ï·¯= ï·®1+ ð£ï·®2ï·¯ï·¯ ðð£ï·®ðð¥ï·¯= ï·®1 + ð£ï·®2ï·¯ï·¯ï·®ð¥ï·¯ ðð£ï·® ï·®1 + ð£ï·®2ï·¯ï·¯ï·¯= ðð¥ï·®ð¥ï·¯ Integrating both sides. ï·®ï·® ðð£ï·® ï·®1 + ð£ï·®2ï·¯ï·¯ï·¯ï·¯ = ï·®ï·® ðð¥ï·®ð¥ï·¯ï·¯ ï·®ï·® ðð£ï·® ï·®1 + ð£ï·®2ï·¯ï·¯ï·¯ï·¯ = log ð¥ï·¯+ð log ð£+ ï·® ð£ï·®2ï·¯+1ï·¯ï·¯ =ððð ð¥ï·¯+ð log ð£+ ï·® ð£ï·®2ï·¯+1ï·¯ï·¯ =ððð ðð¥ï·¯ v + ï·® ð£ï·®2ï·¯+1ï·¯ = cx Putting v = ð¦ï·®ð¥ï·¯ ð¦ï·®ð¥ï·¯+ ï·® ð¦ï·®ð¥ï·¯ï·¯ï·®2ï·¯+1ï·¯=ðð¥ ð¦ï·®ð¥ï·¯+ ï·® ð¦ï·®2ï·¯ï·® ð¥ï·®2ï·¯ï·¯+1ï·¯=ðð¥ ð¦+ ï·® ð¥ï·®2ï·¯ ð¦ï·®2ï·¯ï·® ð¥ï·®2ï·¯ï·¯ï·¯+ ð¥ï·®2ï·¯ï·¯=ð ð¥ï·®2ï·¯ ð¦+ ï·® ð¥ï·®2ï·¯ ð¦ï·®2ï·¯ï·® ð¥ï·®2ï·¯ï·¯+ ð¥ï·®2ï·¯ï·¯=ð ð¥ï·®2ï·¯ ð+ ï·® ðï·®ðï·¯ + ðï·®ðï·¯ï·¯ =ð ðï·®ðï·¯ is the general solution of the given differential equation

Ex 9.5